Типы и виды случайных процессов. Определение случайного процесса. Основные подходы к заданию. Изменение технического состояния системы

Если некоторая переменная х зависит от скалярного ар­гумента t и при каждом фиксированном значении последнего явля­ется случайной величиной, то переменную х(t) называют случайной функцией.

Если аргументом t у переменной x(t) является время, то такую случайную функцию называют случайным процессом. Например, угол тангажа летательного аппарата, движущегося в турбу­лентной атмосфере, является случайным процессом.

Если х -вектор, то зависимость x(t) -векторный случайный процесс. Например, движение центра масс летательного аппарата по траектории характеризуется шестимерным вектором x(t) = {х, у, z, V x , V y , V z }. Если движение аппарата происходит при действии случайных факторов, то x(t) -векторный случайный процесс.

В отдельных опытах наблюдаются реализации x i (t), i-1, 2, ... случайного процесса x(t); i - номер реализации.

Статистическое описание случайного процесса x(t) осуществля­ют, рассматривая множество случайных величин x 1 = x(t 1), ..., x i = x(t i), соответствующих различным значениям времени t, взятым на рассматриваемом интервале его изменения . Считается, что произвольный случайный процесс x(t) описан полностью, если указан способ построения последовательности плотностей вероят­ности р(х, t); p(x 1 , t; x 2 , t 2); ...; р(x 1 , t 1 ; ...; х п, t n) при , где .

Одномерная плотность р(х, t) позволяет определить вероятность попадания случайной величины x(t) в интервал :

С помощью двумерной совместной плотности оп­ределяют, с какой вероятностью две случайные величины х 1 и х 2 по­падут в интервалы и , соответствующие моментам t 1 и t 2:

и так для любого п.

Для описания случайных процессов могут также использоваться условные плотности распределения вероятностей. Условная плот­ность вероятности характеризует распределение веро­ятностей случайной величины , реализации которой в мо­мент прошли через точку . Аналогично условная плотность есть плотность распределе­ния вероятностей случайной величины x n = x(t n), реализации кото­рой в предшествующие моменты принимали фиксирован­ные значения . С учетом формулы (1.7) справедливы следующие соотношения между сов­местными безусловными и условными распределениями:

Имеют место следующие предельные свойства безусловных и условных распределений:

где -дельта-функция в точке Х 1 .

В другом предельном случае

Классификацию случайных процессов осуществляют в зависи­мости от тех свойств, которыми обладают их совместные безуслов­ные и условные распределения.

Абсолютно случайный процесс. Процесс x(t) называют абсо­лютно случайным, если случайные величины и независимы при сколь угодно малом . Учитывая (1.10), для такого процесса получим, что совместное n-мерное распределе­ние при любом п. определяется соотношением

т. е. абсолютно случайный процесс полностью описывается его одно­мерным распределением р(х, I), известным для каждого t.

Марковский процесс. Зададим на интервале возможного изменения аргумента t случайного процесса x(t) временной ряд . Случайный процесс x(t) называют марковским, если для него справедливо соотношение для любых .

Для марковского процесса условная плотность вероятности слу­чайной величины зависит только от того, каким было зна­чение случайной величины и никак не зависит от того, каким были реализации данного процесса в предыдущие моменты . Плотность называют также переходной плотностью вероятности марковского процесса x(t). Для марковского процесса x(t), учитывая (1.34) и (1.40), имеем определяется предыдущим значением и приращением на этом интервале, не зависящим от приращений на предшествующих интервалах.

Гауссовский случайный процесс. Случайный процесс x(t), у ко­торого совместная n-мерная плотность вероятности при любом п и любых является гауссовской, называется гауссовским случайным процессом.

Функцию, значение которой при каждом значении независимой переменной является случайной величиной, называют случайной функцией. Случайные функции, для которых независимой переменной является время , называютслучайными процессами или стохастическими процессами .

Случайный процесс не есть определенная кривая, он является множеством определенных кривых , где , получаемых в результате отдельных опытов (рис. 1.9) . Каждую кривую этого множества называют реализацией случайного процесса . Сказать заранее, по какой из реализации пойдет процесс, невозможно.

Для любого фиксированного момента времени, например , реализация случайного процессапредставляет собой конкретную величину, значение же случайной функцииявляется случайной величиной, называемойсечением случайного процесса в момент времени . Поэтому нельзя утверждать, что случайный процесс в данный момент времени имеет такое-то детерминированное значение, можно говорить лишь о вероятности того, что в данный момент времени значение случайного процесса как случайной величины будет находиться в определенных пределах.

Рис. 1.9. Реализации случайного процесса

Статистические методы изучают не каждую из реализаций , образующих множество , а свойства всего множества в целом при помощи усреднения свойств, входящих в него реализаций. Поэтому при исследовании объекта управления судят о его поведении не по отношению к какому-либо определенному воздействию, представляющему заданную функцию времени, а по отношению к целой совокупности воздействий.

Как известно, статистические свойства случайной величины определяют по ее функции распределения вероятностей интегральной и дифференциальной .

Для случайного процесса также вводят понятие функции распределения и плотности вероятности, которые зависят от фиксированного момента времени наблюдения и от некоторого выбранного уровня, т.е. являются функциями двух переменных и.

Рассмотрим случайную величину , т.е. сечение случайного процесса в момент времени .Одномерной функцией распределения случайного процесса называют вероятность того, что текущее значение случайного процессав момент временине превышает некоторого заданного уровня (числа) , т.е.

Если функция имеет частную производную по, т.е.

то функцию называютодномерной плотностью вероятности случайного процесса. Величина

представляет собой вероятность того, что находится в момент временив интервале отдо.

В каждые отдельные моменты времени наблюдаемые случайные величины (сечения случайного процесса) будут иметь свои, в общем случае разные, одномерные функции распределенияи плотности вероятности.

Функции иявляются простейшими статистическими характеристиками случайного процесса. Они характеризуют случайный процесс изолированно в отдельных его сечениях, не раскрывая взаимной связи между сечениями случайного процесса, т.е. между возможными значениями случайного процесса в различные моменты времени.

Знания этих функций еще недостаточно для описания случайного процесса в общем случае. Необходимо охарактеризовать также взаимную связь случайных величин в различные произвольно взятые моменты времени.

Рассмотрим теперь случайные величины и, относящиеся к двум разным моментам времени и наблюдения случайного процесса.

Вероятность того, что случайный процесс будет не большеприи не больше при , т.е.

называют двумерной функцией распределения . Если функция имеет частные производные пои, т.е.

, (1.47)

то функцию называютдвумерной плотностью вероятности .

Величина

равна вероятности того, что прибудет находиться в интервале отдо, а при в интервале от до.

Аналогично можно ввести понятие о п-мерной функции распределения и п-мерной плотности вероятности .

Чем выше порядок , тем полнее описываются статистические свойства случайного процесса. Зная-мерную функцию распределения, можно найти по ней одномерную, двумерную и другие [вплоть до-й] функции распределения более низкого порядка. Однако многомерные законы распределения случайных процессов являются сравнительно громоздкими характеристиками и с ними крайне трудно оперировать на практике. Поэтому при изучении случайных процессов часто ограничиваются случаями, когда для описания случайного процесса достаточно знать только его одномерный или двумерный закон распределения.

Примером случайного процесса, который полностью характеризуется одномерной плотностью вероятности, является так называемый чистый случайный процесс , или белый шум . Значения в этом процессе, взятые в разные моменты времени, совершенно независимы друг от друга, как бы близко ни были выбраны эти моменты времени. Это означает, что кривая белого шума содержит всплески, затухающие за бесконечно малые промежутки времени. Поскольку значения, например, в моменты времениинезависимы, то вероятность совпадения событий, заключающихся в нахождениимежду и в момент времени и между и в момент , равна произведению вероятностей каждого из этих событий, поэтому

и вообще для белого шума

т. е. все плотности вероятности белого шума определяются из одномерной плотности вероятности.

Для случайных процессов общего вида, если известно, какие значения приняла величина в момент времени , тем самым имеем некоторую информацию относительно, где, так как величины и , вообще говоря, зависимы. Если кроме известна , где, то информация оеще более увеличивается. Таким образом, увеличение наших знаний о поведении процесса до моментаприводит к тому, что увеличивается информация о.

Однако существует особый класс случайных процессов, впервые исследованных известным математиком А. А. Марковым и называемых марковскими случайными процессами , для которых знание значения процесса в момент уже содержит в себе всю информацию о будущем ходе процесса, какую только можно извлечь из поведения процесса до этого момента. В случае марковского случайного процесса для определения вероятностных характеристик процесса в момент временидостаточно знать вероятностные характеристики для любого одного предшествующего момента времени, например непосредственно предшествующего момента времени. Знание вероятностных характеристик процесса для других предшествующих значений времени, например, не прибавляет информации, необходимой для нахождения.

Для марковского процесса справедливо следующее соотношение:

, (1.51)

т. е. все плотности вероятности марковского процесса определяются из двумерной плотности вероятности. Другими словами, марковские случайные процессы полностью характеризуются двумерной плотностью вероятности.

Понятие о функции распределения и плотности вероятности случайного процесса обычно используют при теоретических построениях и определениях. В практике исследования широкое распространение получили сравнительно более простые, хотя и менее полные характеристики случайных процессов, аналогичные числовым характеристикам случайных величин. Примерами таких характеристик служат математическое ожидание, дисперсия, среднее значение квадрата случайного процесса, корреляционная функция, спектральная плотность и другие.

Математическим ожиданием (средним значением) случайного процессаназывают величину

(1.52)

где - одномерная плотность вероятности случайного процесса .

Математическое ожидание случайного процесса представляет собой некоторую неслучайную (регулярную) функцию времени, около которой группируются и относительно которой колеблются все реализации данного случайного процесса (рис. 1.10).

Математическое ожидание случайного процесса в каждый фиксированный момент времени равно математическому ожиданию соответствующего сечения случайного процесса. Математическое ожидание называютсредним значением случайного процесса по множеству (средним по ансамблю, статистическим средним), поскольку оно представляет собой вероятностно усредненное значение бесконечного множества реализаций случайного процесса.

Рис. 1.10. Числовые характеристики случайных процессов

Часто вводят в рассмотрение центрированный случайный процесс

Тогда случайный процесс можно рассматривать как сумму двух составляющих: регулярной составляющей, равной математическому ожиданию, и центрированной случайной составляющей, т.е.

Для того чтобы учесть степень разбросанности реализации случайного процесса относительно его среднего значения, вводят понятие дисперсии случайного процесса, которая равна математическому ожиданию квадрата центрированного случайного процесса:

. (1.55)

Дисперсия случайного процесса является неслучайной (регулярной) функцией времени, значение которой в каждый момент времени равно дисперсии соответствующего сечения случайного процесса.

Среднее квадратическое отклонение случайного процесса равно

Прежде чем дать определение случайного процесса напомним основные понятия из теории случайных величин. Как известно, случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, заранее неизвестное. Различают дискретные и непрерывные случайные величины. Основной характеристикой случайной величины является закон распределения, который может быть задан в виде графика или в аналитической форме. При интегральном законе распределения функция распределения , где – вероятность того, что текущее значение случайной величины меньше некоторого значения . При дифференциальном законе распределения используют плотность вероятности . Численными характеристиками случайных величин являются так называемые моменты, из которых наиболее употребительны момент первого порядка – среднее значение (математическое ожидание) случайной величины и центральный момент второго порядка – дисперсия. В случае, если имеется несколько случайных величин (система случайных величин), вводится понятие корреляционного момента.

Обобщением понятия случайной величины является понятие случайной функции , т.е. функции, которая в результате опыта может принять тот или иной вид, неизвестный заранее. Если аргументом функции является время t, то её называют случайным или стохастическим процессом .

Конкретный вид случайного процесса, полученный в результате опыта, называется реализацией случайного процесса и является обычной неслучайной (детерминированной) функцией. С другой стороны в фиксированный момент времени имеем так называемое сечение случайного процесса в виде случайной величины.

Для описания случайных процессов обобщаются естественным образом понятия теории случайных величин. Для некоторого фиксированного момента времени , случайный процесс превращается в случайную величину , для которой можно ввести функцию , называемую одномерным законом распределения случайного процесса . Одномерный закон распределения не является исчерпывающей характеристикой случайного процесса. Он, например, не характеризует корреляцию (связь) между отдельными сечениями случайного процесса. Если взять два разных момента времени и , можно ввести двумерный закон распределения и т.д. В пределах нашего дальнейшего рассмотрения будем ограничиваться в основном одномерным и двумерным законами.

Рассмотрим простейшие характеристики случайного процесса, аналогичные числовым характеристикам случайной величины. Математическое ожидание или среднее по множеству

и дисперсию

Математическое ожидание – это некоторая средняя кривая, вокруг которой группируются отдельные реализации случайного процесса, а дисперсия характеризует в каждый момент времени разброс возможных реализаций. Иногда, используется среднеквадратичное отклонение .

Для характеристики внутренней структуры случайного процесса вводится понятие корреляционной (автокорреляционной ) функции

Наряду с математическим ожиданием (среднее по множеству) (3.1) вводится ещё одна характеристика случайного процесса – среднее значение случайного процесса для отдельной реализации (среднее по времени)

Для двух случайных процессов можно также ввести понятие взаимной корреляционной функции по аналогии с (3.3).

Одним из частных случаев случайного процесса, находящих широкое применение на практике, является стационарный случайный процесс – это случайный процесс, вероятностные характеристики, которого не зависят от времени. Итак, для стационарного случайного процесса , , а корреляционная функция зависит от разности , т.е. является функцией одного аргумента .

Стационарный случайный процесс в какой-то мере аналогичен обычным или установившимся процессам в системах управления.

Стационарные случайные процессы обладают интересным свойством, которое называется эргодической гипотезой . Для стационарного случайного процесса всякое среднее по множеству равно среднему по времени. В частности, например, Это свойство позволяет часто упростить физическое и математическое моделирование систем при случайных воздействиях.

Как известно, при анализе детерминированных сигналов широкое применение находят их спектральные характеристики на базе ряда или интеграла Фурье. Аналогичное понятие можно ввести и для случайных стационарных процессов. Отличие будет заключаться в том, что для случайного процесса амплитуды гармонических составляющих будут случайными, а спектр статического случайного процесса будет описывать распределение дисперсий по различным частотам.

Спектральная плотность стационарного случайного процесса связана с его корреляционной функцией преобразованиями Фурье :

где корреляционную функцию будем трактовать как оригинал, а - как изображение.

Существуют таблицы, связывающие оригиналы и изображения . Например, если , то .

Отметим связь спектральной плотности и корреляционной функции с дисперсией D

Широкое практическое использование при исследовании состояния разных технических объектов получили три типа случайных процессов - гауссовский, стационарный и марковский.

Гауссовский случайный процесс - это случайный процесс X(t), распределение вероятностей параметров которого подчиняется нормальному закону. Математическое ожидание (среднее значение)М[Х(t)] и корреляционная функция K х (t 1 ,t 2) однозначно определяют распределение его параметров, следовательно, и процесс в целом.

Стационарный случайный процесс (однородный во времени случайный процесс) - это такой случайный процесс X(t), статистические характеристики которого постоянны во времени, то есть инвариантны к кратковременным возмущениям: t → t + τ, X(t) → X(t + τ) при любом фиксированном значении τ. Процесс полностью определяется математическим ожиданием M и корреляционной функцией

К х (t,τ) = M.

Марковский случайный процесс - это такой случайный процесс, при котором вероятность нахождения системы в каком-либо состоянии в будущем зависит от того, в каком состоянии система находится в заданный момент времени и не зависит от того, каким путем система перешла в это состояние. Короче - «будущее» и «прошлое» процесса при известном его «настоящем» не связаны друг с другом. Часто марковский процесс характеризуется вероятностями перехода системы из одного состояния в другое (переходными вероятностями).

Изменение технического состояния системы

Как уже говорилось, задача прогнозирования технического состояния, в самом общем понимании, представляет собой получение некоторых вероятностных характеристик работоспособности системы в будущем на основе данных контроля ее настоящего и прошедших состояний.

В зависимости от того, какая характеристика случайного процесса определяется при прогнозировании, различают прогнозирование надежности (определение условной плотности вероятности безотказной работы системы после контроля) и прогнозирование технического состояния (определение условной плотности распределения вероятностей значений определяющего параметра) на основе прошлых и настоящего состояний. На рис 8.1 проиллюстрирована разница между этими характеристиками. На этом рисунке x(t) - отрезок реализации случайного процесса X(t), описывающий изменение во времени некоторого определяющего параметра системы, имеющего допустимые границы (а, b) изменения. Отрезок реализации получен в результате наблюдения за конкретным экземпляром системы из заданного класса систем на интервале времени (0, t k 2). В момент t k 2 был осуществлен последний контроль системы, и на его основе необходимо решить - пригодна ли система к эксплуатации до наступления очередного момента контроля t k 3 .

рис. 8.1 Условная плотность вероятности безотказной работы р{x(t)} и f{(x(t)} условная плотность распределения вероятностей значений определяющего параметра

В связи с тем, что внешние воздействия, воспринимаемые системой, имеют случайный характер, случайный процесс после момента t k 2 может изменяться по разному (см. пунктирные линии на рис. 8.1). Процесс, являющийся продолжением некоторого исходного процесса при условии, что на интервале (0,t k 2) его реализация имела конкретный вид х(t), называется условным , или апостериорным , случайным процессом:

Х ps (t)=x. (8.5)

Следовательно, для принятия обоснованного решения о назначении срока очередного контроля системы необходимо знать характеристики апостериорного случайного процесса. Пригодной для выполнения задачи будет считаться система, определяющие параметры которой находятся в допустимых границах (а, b) в момент предыдущего контроля и не выйдут из этих границ до конца заданного срока функционирования. Поскольку выход определяющих параметров за допустимые границы является случайным событием, то оценкой работоспособности системы может быть условная вероятность безотказной ее работы после контроля. Это вероятность того, что случайный процесс ни разу не пересечет границу (a, b) после момента контроля; ее называют прогнозированной надежностью системы и обозначают

P{x(t)=<<(ba)/X(t)=x(t), 0<

Таким образом, прогнозированием надежности называется определение условной вероятности безотказной работы системы при условии, что в момент контроля она находилась в некотором фиксированном работоспособном состоянии.

Наиболее полной характеристикой будущего технического состояния системы является условная плотность распределения вероятностей ее определяющих параметров, то есть будущих значений случайного процесса

f{x(t k 3)/X(t)=x(t), 0<

при условии, что на интервале (0,t k 3) реализация процесса имела конкретный вид (рис. 8.1).

1. ПОНЯТИЕ СЛУЧАЙНОЙ ФУНКЦИИ

До определенных пор теория вероятностей ограничивалась понятием случайных величин. Их использование позволяет выполнять статические расчеты, учитывающие случайные факторы. Однако механические системы подвергаются также разнообразным динамическим, то есть изменяющимся во времени воздействиям случайного характера. К ним относятся, в частности, вибрационные и ударные воздействия при движении транспортных средств, аэродинамические силы, вызванные атмосферной турбулентностью, сейсмические силы, нагрузки, обусловленные случайными отклонениями от номинальных режимов работы машин.

Случайные динамические явления изучаются при анализе тенденций в экономике (например, изменения курса акций или валюты). Работа в условиях случайных возмущений характерна для систем управления разнообразными динамическими объектами.

Для анализа подобных явлений используется понятие случайной функции . Случайной функцией X (t ) называется такая функция аргумента t , значение которой при любом t является случайной величиной. Если аргумент принимает дискретные значения t 1 , t 2 , …, t k то говорят о случайной последовательности X 1 , X 2 ,…, X k , где X i = X (t i ).

Во многих практических задачах неслучайный аргумент t имеет смысл времени, при этом случайную функцию называют случайным процессом , а случайную последовательность – временным рядом . Вместе с тем, аргумент случайной функции может иметь и иной смысл. Например, речь может идти о рельефе местности Z (x , y ), где аргументами являются координаты местности x и y , а роль случайной функции играет высота над уровнем моря z. В дальнейшем, для определенности, имея в виду приложения случайных функций к исследованию динамических систем, будем говорить о случайных процессах.

Предположим, что при исследовании случайного процесса X (t ) произведено n независимых опытов, и получены реализации

представляющие собой n детерминированных функций. Соответствующее семейство кривых в определенной мере характеризует свойства случайного процесса. Так, на рис.1.1а представлены реализации случайного процесса с постоянными средним уровнем и разбросом значений возле среднего, на рис. 1.1б – реализации случайного процесса с постоянным средним и изменяющимся разбросом, на рис. 1.1в – реализации случайного процесса с изменяющимися во времени средним и разбросом.

Рис.1.1. Типичные реализации случайных процессов

На рис. 1.2 показаны реализации двух случайных процессов, имеющих одинаковый средний уровень и разброс, но различающихся плавностью. Реализации случайного процесса на рис. 1.2а имеют высокочастотный характер, а на рис. 1.2б – низкочастотный.

Рис. 1.2. Высокочастотный и низкочастотный случайные процессы

Таким образом, X (t ) можно рассматривать и как совокупность всевозможных реализаций, которая подчиняется определенным вероятностным закономерностям. Как и для случайных величин, исчерпывающую характеристику этих закономерностей дают функции или плотности распределения. Случайный процесс считается заданным, если заданы все многомерные законы распределения случайных величин X (t i ), X (t 2 ), …, X (t n ) для любых значений t 1 , t 2 , …, t n из области изменения аргумента t . Речь идет, в частности, об одномерной плотности распределения , двумерной плотности распределения и т.д. .

Для упрощения анализа в большинстве случаев ограничиваются моментными характеристиками, причем чаще всего используют моменты первого и второго порядков. Для характеристики среднего уровня случайного процесса служит математическое ожидание

. (1.1)

Для характеристики амплитуды отклонений случайного процесса от среднего уровня служит дисперсия

Для характеристики изменчивости (плавности) случайного процесса служит корреляционная (автокорреляционная) функция

(1.3)

Как следует из (1.3), корреляционная функция представляет собой ковариацию случайных величин X (t 1) и X (t 2). Ковариация же, как известно из курса теории вероятностей, характеризует взаимозависимость между X (t 1) и X (t 2).

В рамках корреляционной теории случайных функций, которая оперирует лишь моментами первого и второго порядков, могут быть решены многие технические задачи. В частности, могут быть определены априорная, а также условная вероятности выхода случайного процесса за пределы заданных границ. Вместе с тем, некоторые важные в практическом плане задачи не решаются средствами корреляционной теории и требуют использования многомерных плотностей распределения. К таким задачам относится, например, расчет среднего времени нахождения случайного процесса выше или ниже заданной границы.

2. ТИПЫ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

2.1. Квазидетерминированные случайные процессы