Математика с дополнительной специальностью. Математика с дополнительной специальностью Теоремы о наибольшем и наименьшем натуральном числе

Теоремы о “наибольшем“ и “наименьшем“ целом числе

Теорема 4 (о ”наименьшем” целом числе). Всякое непустое, ограниченное снизу множество целых чисел соДержит наименьшее уисло. (Здесь, как и в случае натуральных чисел, слово ” множество“ используется вместо слова ”подмножество“ Э

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть О А С Z и А ограничено снизу, т.е. 36 ? ZVa ? А(Ь < а). Тогда если Ь Е А, то Ь- наименьшее число во множестве А.

Пусть теперь Ь А.

Тогда Уа е Аф < а) и, значит, Уа А(а - Ь > О).

Образуем множество М всех чисел вида а - Ь, где а пробегает множество А, т.е. М = {с [ с = а - Ь, а Е А}

Очевидно, что множество М не пусто, поскольку А 74 0

Как отмечено выше, М С N . Следовательно, по теореме н а т у р ал ь н о м ч и с л е (54, гл.Ш) во множестве М существует наименьшее натуральное число т. Тогда т = а1 - Ь для некоторого числа а1 ? А, и, поскольку т наименьшее в М, то Уа? А(т < а - Ь) , т.е. А (01 - Ь < а - Ь). Отсюда Уа е А(а1 а), а так как ат (- А, то - наименьшее число в А. Теорема доказана.

Теорема 5 (о “ наибольшем“ целом числе). Всякое непустое, ограниченное сверсу множество целыс чисел соДержит наибольшее число.

Д о к аз а те ль с т во. Пусть О 74 А С Z и А ограничено сверху числом Ь, т.е. ? ZVa е А(а < Ь). Тогда -а > Ь для всех чисел а? А.

Следовательно, множество М {с г = -а, а? А} не пусто и ограничено снизу числом (-6). Отсюда по предыдущей теореме во множестве М сицествует наименьшее число, т.е. ас? МУс? М (с < с).

Это означает, что Уа? А(с < -а), откуда Уа? А(-с > а)

З. Различные формы метода математической индукции для целых чисел. Теорема о делении с остатком

Теорема 1 (первая форма метода математической индукции). Пусть Р(с) - оДноместныб преДикат, опреДеленный на множестве Z целых чисе., 4 . ТогДа если Для некоторого ЧИСЛа а Z преДложение Р(о) и Для произвольного целого числа К > а из Р(К) слеДует Р(К -4- 1), то преДложение Р(г) справеДлиео Для всес целы,т чисел с > а (т.е. на множестве Z является истинной следующая формула исчисления предикатов:

Р(а) лук > + 1)) Ус > аР(с)

для любого фиксированного целого числа а

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть для предложения Р (с) верно все, о чем говорится в условии теоремы, т.е.

1) Р(а) - истинно;

2) УК Щ к + также истинно.

От противного. Предположим, что найдется такое число

Ь > а, что РФ) - ложно. Очевидно, что Ь а, поскольку Р (а) истинно. Образуем множество М = {z ? > а, P(z)- ложно}.

Тогда множество М 0 , поскольку Ь? М и М- ограничено снизу числом а. Следовательно, по теореме о н а и м е н ьш е м ц е л о м ч и с л е (теорема 4, 2) во множестве М существует наименьшее целое число с. Отсюда с > а, что, в свою очередь, влечет с - 1 > а.

Докажем, что Р(с-1) - истинно. Если с-1 = а, то Р (с- 1) истинно в силу условия.

Пусть с- 1 > а. Тогда предположение, что Р(с- 1) - ложно, влечет принадлежность с 1 ? М, чего не может быть, поскольку число с- наименьшее во множестве М.

Таким образом, с - 1 > а и Р(с - 1) - истинно.

Отсюда в силу условия данной теоремы предложение Р((с- 1) + 1) - истинно, т.е. Р(с) - истинно. Это противоречит выбору числа с, поскольку с? М Теорема доказана.

Заметим, эта теорема обобщает следствие 1 из аксиом Пеано.

Теорема 2 (вторая форма метода математической индукции для целых чисел). Пусть Р(с) - некоторый оДноместный преДшсатп, опреДеленньи) на множестве Z целыс чисел. ТогДа если преЭложение Р (с) справеДливо Для некоторого целого числа К и Для произвольного Цело го числа s К из справеДливости преДложения Р(с) Для всес целых чисел, уДовлетворяющис неравенству К < с < s, слеДует справеДливость этого преДложения Для числа s , то это преДложение справеДливо Для всег целыс чисел с > К.

Доказательство этой теоремы во многом повторяет доказательство аналогичной теоремы для натуральных чисел (теорема 1, 55, гл.Ш).

Теорема З (третья форма метода математической индукции). Пусть Р(с) - оДноместньиЈ преДикат, опреДеленный на множестве Z целыс ЧИСи. ТогДа если Р(с) истинно Для всес чисел некоторого бесконечного поДмножества М множества натуральных чисел и Для произвольного целого числа а из истинности Р(а) слеДует истинность Р (а - 1) , то преДложение Р(с) справеДливо Для всес целыс чисел.

Доказательство аналогично доказательству соответствукощей теоремы для натуральных чисел.

Предлагаем его в качестве интересного упражнения.

Заметим, что в практике применения третья форма математической индукции встречается реже, чем остальные. Это объясняется тем, что для ее применения необходимо знать бесконечное подмножество М множества натуральных чисел“ , о котором говорится в теореме. Нахождение такого множества может оказаться нелегкой задачей.

Но преимущество третьей формы перед остальными заключается в том, что с ее помощью предложение Р(с) доказывается Для всес целыс чисел.

Ниже мы приведем интересный пример применения третьей формы“ . Но сначала дадим одно очень важное понятие.

Определение. Абсолютной величиной целого числа а называется число, опреДеленное по правилу

0, если а О а, если а > О

А, если а < 0.

Таким образом, если а 0 , то ? N.

Предлагаем читателю в качестве упражнения доказать следующие свойства абсолютной величины:

Теорема (о делении с остатком). Для любыс целыс чисел а и Ь, где Ь 0, существует и притом только одна пара чисел q U т таких, что а г: bq+T Л Д.

Д о к аз а т е л ь с т в о.

1. Существование пары (q, т).

Пусть а, Ь? Z и 0. Покажем, что существует пара чисел q и, удовлетворяющих условиям

Доказательство проведем индукцией в третьей форме по числу а при фиксированном числе Ь.

М = {mlm= n lbl,n? N}.

Очевидно, что М С лт отображение f: N М, определенное по правилу f(n) = nlbl для любого п? N, является биекцией. Это означает, что М N, т.е. М- бесконечно.

Докажем, что для произвольного числа а? М (и Ь- фикси рованного) утверждение теоремы о существовании пары чисел q и т верно.

Действительно, пусть а (- М. Тогда а пф! для некоторого п? N.

Если Ь > 0, то а = пь + О. Полагая теперь q = п и т О, получаем требуемую пару чисел q и т. Если же Ь < 0, то и, значит, в этом случае можно положить q

Сделаем теперь инДуктпиеное преДположение. Допустим, что для произвольного целого числа с (и произвольного фиксированного Ь 0) утверждение теоремы верно, т.е. существует пара чисел (q, т) такая, что

Докажем, что оно верно и для числа (с 1) . Из равенства с = bq -4- следует bq + (т - 1). (1)

Возможны случаи.

1) т > 0. Тогда 7" - 1 > 0. В этом случае, положив - т - 1, получим с - 1 - bq + Tl, где пара (q, 7"1,) очевидно удовлетворяет условию

0. Тогда с - 1 bq1 + 711 , где q1

Без труда докажем, что 0 < < Д.

Таким образом, утверждение верно и для пары чисел

Первая часть теоремы доказана.

П. ЕДинственность пары q и т.

Предположим, что для чисел а и Ь 0 существуют две пары чисел (q, т) и (q1, то, удовлетворяющие условиям (*)

Докажем, что они совпадают. Итак, пусть

и а bq1 Л О < Д.

Отсюда вытекает, что b(q1 -q) т- 7 1 1. Из этого равенства следует, что

Если теперь допустить, что q ql , то q - q1 0, откуда lq - q1l 1. Умножая эти неравенства почленно на число lbl, получим ф! - q11 Д. (3)

В то же время из неравенств 0 < т < lbl и О < < очевидным образом следует - < ф!. Это противоречит (3). Теорема доказана.

У п р а ж н е н и я:

1. Завершите доказательства теорем 2 и З из 5 1.

2. Докажите следствие 2 из теоремы З, 1.

3. Докажите, что подмножество Н С Z, состоящее из всех чисел вида < п + 1, 1 > (п? N), замкнуто относительно сложения и умножения.

4. Пусть Н означает то же множество, что и в упражнении 3. Докажите, что отображение ј : М удовлетворяет условиям:

1) ј - биекция;

2) ј(п + т) = ј(п) + j(m) и j(nm) = ј(п) j(m) для любых чисел п, т (т.е. ј осуществляет изоморфизм алгебр (N, 4, и (Н, + ,).

5. Завершите доказательство теоремы 1 из 2.

6. Докажите, что для любых целых чисел а, Ь, с справедливы импликации:

7. Докажите вторую и третью теоремы из З.

8. Докажите, что кольцо Z целых чисел не содержит делителей нуля.

Литература

1. Бурбаки Н. Теория множеств. М.: Мир, 1965.

2. ВинограДов И. М. Основы теории чисел. М.: Наука, 1972. З. ДемиДов И. Т. Основания арифметики. М.: Учпедгиз, 1963.

4. Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. ОсНОвы теории групп.

М.: Наука, 1972.

5. Кострикин А. И. Введение в алгебру. М.: Наука, 1994.

б. Куликов Л. Я. Алгебра и теория чисел. М.: Высш. шк., 1979.

7. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1971.

8. Любецкий В. А. Основные понятия школьной математики. М.: Просвещение, 1987.

9. Ляпин ЕС. и др. Упражнения по теории групп. М.: Наука, 1967.

10. Мальцев А. И. Алгебраические системы. М.: Наука, 1970.

11. МенДельсон Э. Введение в математическую логику. М.: Наука, 1971.

12. Нечаев В. И. Числовые системы. М.: Просвещение, 1975.

13. Новиков П.С. Элементы математической логики. М.. Наука, 1973.

14. Петрова В. Т. Лекции по алгебре и геометрии.: В 2 ч.

ЧЛ. М.: Владос, 1999.

15. Современные основы школьного курса математики Авт. кол: Виленкин Н.Я., Дуничев К.И., Каллтжнин ЛА Столяр А.А. М.: Просвещение, 1980.

16. Скорняков Л. А. Элементы алгебры. М.: Наука, 1980.

17. Стом Р.Р. Множество, логика, аксиоматические теории. М.; Просвещение, 1968.

18. Столяр А. А. Логическое введение в математику. Минск: ВЫШЭЙШ. шк., 1971.

19. Филиппов В. П. Алгебра и теория чисел. Волгоград: вгпи, 1975.

20. Френкел А., Бар-Хилел И. Основания теории множсств. М.: Мир, 1966.

21. Фукс Л. Частично упорядочные системы. М.: Мир, 1965.

Учебное изДание

Владимир Константинович Карташов

ВВОДНЫЙ КУРС МАТЕМАТИКИ

Учебное пособие

Редакционная подготовка О. И. Молокановой Оригинал-макет подготовил А. П. Бощенко

„ПР 020048 от 20.12.96 г.

Подписано к печати 28.08.99 г. Формат 60х84/16. Печать офс. Бум. тип. М 2. Уел. печ. л. 8,2. Уч.-изд. л. 8,3. Тираж 500 экз. Заказ 2

Издательство «Перемена»

К государственному экзамену по специальности

1. Линейное (векторное) пространство над полем. Примеры. Подпространства, простейшие свойства. Линейная зависимость и независимость векторов.

2. Базис и размерность векторного пространства. Матрица координат системы векторов. Переход от одного базиса к другому. Изоморфизм векторных пространств.

3. Алгебраическая замкнутость поля комплексных чисел.

4. Кольцо целых чисел. Упорядоченность целых чисел. Теоремы о «наибольшем» и «наименьшем» целом числе.

5. Группа, примеры групп. Простейшие свойства групп. Подгруппы. Гомоморфизм и изоморфизм групп.

6. Основные свойства делимости целых чисел. Простые числа. Бесконечность множества простых чисел. Каноническое разложение составного числа и его единственность.

7. Теорема Кронекера-Капелли (критерий совместности системы линейных уравнений).

8. Основные свойства сравнений. Полная и приведенная системы вычетов по модулю. Кольцо классов вычетов по модулю. Теоремы Эйлера и Ферма.

9. Приложение теории сравнений к выводу признаков делимости. Обращение обыкновенной дроби в десятичную и определение длины ее периода.

10. Сопряженность мнимых корней многочлена с действительными коэффициентами. Неприводимые над полем действительных чисел многочлены.

11. Линейные сравнения с одной переменной (критерий разрешимости, способы решения).

12. Равносильные системы линейных уравнений. Метод последовательного исключения неизвестных.

13. Кольцо. Примеры колец. Простейшие свойства колец. Подкольцо. Гомоморфизмы и изоморфизмы колец. Поле. Примеры полей. Простейшие свойства. Минимальность поля рациональных чисел.

14. Натуральные числа (основы аксиоматической теории натуральных чисел). Теоремы о «наибольшем» и «наименьшем» натуральном числе.

15. Многочлены над полем. Теорема о делении с остатком. Наибольший общий делитель двух многочленов, его свойства и способы нахождения.

16. Бинарные отношения. Отношение эквивалентности. Классы эквивалентности, фактормножество.

17. Математическая индукция для натуральных и целых чисел.

18. Свойства взаимно простых чисел. Наименьшее общее кратное целых чисел, его свойства и способы нахождения.

19. Поле комплексных чисел, числовые поля. Геометрическое представление и тригонометрическая форма комплексного числа.

20. Теорема о делении с остатком для целых чисел. Наибольший общий делитель целых чисел, его свойства и способы нахождения.

21. Линейные операторы векторного пространства. Ядро и образ линейного оператора. Алгебра линейных операторов векторного пространства. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора.

22. Аффинные преобразования плоскости, их свойства и способы задания. Группа аффинных преобразований плоскости и ее подгруппы.

23. Многоугольники. Площадь многоугольника. Теорема существования и единственности.

24. Равновеликость и равносоставленность многоугольников.

25. Геометрия Лобачевского. Непротиворечивость системы аксиом геометрии Лобачевского.

26. Понятие параллельности в геометрии Лобачевского. Взаимное расположение прямых на плоскости Лобачевского.

27. Формулы движений. Классификация движений плоскости. Приложения к решению задач.

28. Взаимное расположение двух плоскостей, прямой и плоскости, двух прямых в пространстве (в аналитическом изложении).

29. Проективные преобразования. Теорема существования и единственности. Формулы проективных преобразований.

30. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов, их приложение к решению задач.

31. Система аксиом Вейля трехмерного евклидова пространства и ее содержательная непротиворечивость.

32. Движения плоскости и их свойства. Группа движений плоскости. Теорема существования и единственности движения.

33. Проективная плоскость и ее модели. Проективные преобразования, их свойства. Группа проективных преобразований.

34. Преобразования подобия плоскости, их свойства. Группа преобразований подобия плоскости и ее подгруппы.

35. Гладкие поверхности. Первая квадратичная форма поверхности и ее приложения.

36. Параллельное проектирование и его свойства. Изображение плоских и пространственных фигур в параллельной проекции.

37. Гладкие линии. Кривизна пространственной кривой и ее вычисление.

38. Эллипс, гипербола и парабола как конические сечения. Канонические уравнения.

39. Директориальное свойство эллипса, гиперболы и параболы. Полярные уравнения.

40. Двойное отношение четырех точек прямой, его свойства и вычисление. Гармоническая разделенность пар точек. Полный четырехугольник и его свойства. Приложение к решению задач на построение.

41. Теоремы Паскаля и Брианшона. Полюсы и поляры.

Примерные вопросы по математическому анализу

Как известно, множество натуральных чисел можно упорядочить при помощи отношения «меньше». Но правила построения аксиоматической теории требуют, чтобы это отношение было не только определено, но и сделано это на основе уже определенных в данной теории понятий. Сделать это можно, определив отношение «меньше» через сложение.

Определение. Число а меньше числа b (а < b) тогда и только тогда, когда существует такое натуральное число с, что а + с = b.

При этих условиях говорят также, что число b больше а и пишут b > а.

Теорема 12. Для любых натуральных чисел а и b имеет место одно и только одно из трех отношений: а = b, а > b , а < b.

Доказательство этой теоремы мы опускаем . Из этой теоремы вытекает, что если

а ¹ b, то либо а < b, либо а > b, т.е. отношение «меньше» обладает свойством связанности.

Теорема 13. Если а < b и b < с. то а < с.

Доказательство. Эта теорема выражает свойство транзитивности отношения «меньше».

Так как а < b и b < с. то, по определению отношения «меньше», найдутся такие натуральные числа к и /, что b = а + к и с = b + I. Но тогда с = (а + к) + / и на основания свойства ассоциативности сложения получаем: с = а + (к + /). Поскольку к + I - натуральное число, то, согласно определению «меньше», а < с.

Теорема 14 . Если а < b, то неверно, что b < а. Доказательство. Эта теорема выражает свойство антисимметричности отношения «меньше».

Докажем сначала, что ни для одного натурального числа а не вы-!>! ■ )ея отношение а < а. Предположим противное, т.е. что а < а имеет место. Тогда, по определению отношения «меньше», найдется такоенатуральное число с, что а + с = а, а это противоречит теореме 6.

Докажем теперь, что если а < b , то неверно, что b < а. Предположим противное, т.е. что если а < b , то b < а выполняется. Но из этих равенств по теореме 12 имеем а < а, что невозможно.

Так как определенное нами отношение «меньше» антисимметрично и транзитивно и обладает свойством связанности, то оно является отношением линейного порядка, а множество натуральных чисел линейно упорядоченным множеством.

Из определения «меньше» и его свойств можно вывести известные свойства множества натуральных чисел.

Теорема 15. Из всех натуральных чисел единица является наименьшим числом, т.е. I < а для любого натурального числа а¹1.

Доказательство. Пусть а - любое натуральное число. Тогда возможны два случая: а = 1 и а ¹ 1. Если а = 1, то существует натуральное число b, за которым следует а: а = b " = b + I = 1 + b , т.е., по определению отношения «меньше», 1 < а. Следовательно, любое натуральное равно 1 либо больше 1. Или, единица является наименьшим натуральным числом.

Отношение «меньше» связано со сложением и умножением чисел свойствами монотонности.

Теорема 16.

а = b => а + с = b + с и а с = b с;

а < b => а + с < b + с и ас < bс;

а > b => а + с > b + с и ас > bс.

Доказательство. 1) Справедливость этого утверждения вытекает из единственности сложения и умножения.

2) Если а < b, то существует такое натуральное число k, что а + k = b.
Тогда b + с = (а + к) + с = а + (к + с) = а + (с + к) = (а + с) + к. Равенство b + с = (а + с) + к означает, что а + с < b + с.

Точно так же доказывается, что а < b => ас < bс.

3) Доказывается аналогично.

Теорема 17 (обратная теореме 16).

1) а + с = Ь + с или ас ~ Ьс- Þ а = Ь

2) а + с < Ь + с или ас < Ьс Þ а < Ь:

3) а + с > Ь + с или ас > Ьс Þ а > Ь.

Доказательство. Докажем, например, что из ас < bс следует а < b Предположим противное, т.е. что заключение теоремы не выполняется. Тогда не может быть, что а = b. так как тогда бы выполнялось равенство ас = bс (теорема 16); не может быть и а > b, так как тогда бы ас > bс (теорема!6). Поэтому, согласно теореме 12, а < b.

Из теорем 16 и 17 можно вывести известные правила почленного сложения и умножения неравенств. Мы их опускаем.

Теорема 18 . Для любых натуральных чисел а и b ; существует такое натуральное число n, что п b> а.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Для любого а найдется такое число п , что п > а. Для этого достаточно взять п = а + 1. Перемножая почленно неравенства п > а и b > 1, получаем пb > а.

Из рассмотренных свойств отношения «меньше» вытекают важные особенности множества натуральных чисел, которые мы приводим без доказательства.

1. Ни для одного натурального числа а не существует такого натурального числа п, что а < п < а + 1. Это свойство называется свойством
дискретности множества натуральных чисел, а числа а и а + 1 называют соседними.

2. Любое непустое подмножество натуральных чисел содержит
наименьшее число.

3. Если М - непустое подмножество множества натуральных чисел
и существует такое число b, что для всех чисел х из М выполняется не
равенство х < b, то в множестве М есть наибольшее число.

Проиллюстрируем свойства 2 и 3 на примере. Пусть М - множество двузначных чисел. Так как М есть подмножество натуральных чисел и для всех чисел этого множества выполняется неравенство х < 100, то в множестве М есть наибольшее число 99. Наименьшее число, содержащееся в данном множестве М, - число 10.

Таким образом, отношение «меньше» позволило рассмотреть (и в ряде случаев доказать) значительное число свойств множества натуральных чисел. В частности, оно является линейно упорядоченным, дискретным, в нем есть наименьшее число 1.

С отношением «меньше» («больше») для натуральных чисел младшие школьники знакомятся в самом начале обучения. И часто, наряду с его теоретико-множественной трактовкой, неявно используется определение, данное нами в рамках аксиоматической теории. Например, учащиеся могут объяснить, что 9 > 7 так как 9 - это 7+2. Нередко и неявное использование свойств монотонности сложения и умножения. Например, дети объясняют, что «6 + 2 < 6 + 3, так как 2 < 3».

Упражнения

1, Почему множество натуральных чисел нельзя упорядочить при помощи отношения «непосредственно следовать за»?

Сформулируйте определение отношения а > b и докажите, что оно транзитивно и антисимметрично.

3. Докажите, что если а, b, с - натуральные числа, то:

а) а < b Þ ас < bс;

б) а + с < b + сÞ > а < Ь.

4. Какие теоремы о монотонности сложения и умножения могут
использовать младшие школьники, выполняя задание «Сравни, не выполняя вычислений»:

а) 27 + 8 ... 27 + 18;

б) 27- 8 ... 27 -18.

5. Какие свойства множества натуральных чисел неявно используют младшие школьники, выполняя следующие задания:

А) Запиши числа, которые больше, чем 65, и меньше, чем 75.

Б) Назови предыдущее и последующее числа по отношению к числу 300(800,609,999).

В) Назови самое маленькое и самое большое трехзначное число.

Вычитание

При аксиоматическом построении теории натуральных чисел вычитание обычно определяется как операция, обратная сложению.

Определение. Вычитанием натуральных чисел а и b называется операция, удовлетворяющая условию: а - b = с тогда и только тогда, когда b+с = а.

Число а - b называется разностью чисел а и b, число а – уменьшаемым, ачисло b - вычитаемым.

Теорема 19. Разность натуральных чисел а - b существует тогда и только тогда, когда b < а.

Доказательство. Пусть разность а - b существует. Тогда, по определению разности, найдется такое натуральное число с, что b + с = а, а этозначит, что b < а.

Если же b < а, то, по определению отношения «меньше», существует такое натуральное число с, что b + с = а. Тогда, по определению разности, с = а - b, т.е. разность а - b существует.

Теорема 20. Если разность натуральных чисел а и b существует, то она единственна.

Доказательство. Предположим, что существует два различных значения разности чисел а и b ;: а – b = с₁ и а - b = с₂ , причем с₁ ¹ с₂ . Тогда по определению разности, имеем: а = b + с₁, и а = b + с₂ : . Отсюда следует, что b + с ₁ = b + с₂ : и на основании теоремы 17 заключаем, с₁ = с₂.. Пришли к противоречию с допущением, значит, оно неверное, а верна данная теорема.

Исходя из определения разности натуральных чисел и условия ее существования, можно обосновать известные правила вычитания числа из суммы и суммы из числа.

Теорема 21 . Пусть а. b и с - натуральные числа.

а) Если а > с, то (а + b) - с = (a - с) + b.

б) Если b > с. то (а + b) - с - а + (b - с).

в) Если а > c и b > с. то можно использовать любую из данных формул.
Доказательство. В случае а) разность чисел а и c существует, так как а > с. Обозначим ее через х: а - с = х. откуда а = с + х . Если (а + b) - с = у. то, по определению разности, а + b = с + у . Подставим в это равенство вместо а выражение с + х : (с + х) + b = с + у. Воспользуемся свойством ассоциативности сложения: с + (х + b) = с + у . Преобразуем это равенство на основе свойства монотонности сложения, получим:

х + b = у. .Заменив в данном равенстве х на выражение а - с, будем иметь (а - г) + b = у. Таким образом, мы доказали, что если а > с, то (а + b) - с = (a - c) + b

Аналогично проводится доказательство и в случае б).

Доказанную теорему можно сформулировать в виде правила, удобного для запоминания: дли того чтобы вычесть число из суммы, достаточно вычесть это число из одного слагаемого суммы и к полученному результату прибавить другое слагаемое.

Теорема 22. Пусть а, b и с - натуральные числа. Если а > b + с, то а - (b + с) = (а - b) - с или а - (b + с) = (а - c) - b.

Доказательство этой теории аналогично доказательству теоремы 21.

Теорему 22 можно сформулировать в виде правила, для того чтобы вычесть из числа сумму чисел, достаточно вычесть из этого числа последовательно каждое слагаемое одно за другим.

В начальном обучении математике определение вычитания как действия, обратного сложению, в общем виде, как правило, не дается, но им постоянно пользуются, начиная с выполнения действий над однозначными числами. Учащиеся должны хорошо понимать, что вычитание связано со сложением, и использовать эту взаимосвязь при вычислениях. Вычитая, например, из числа 40 число 16, учащиеся рассуждают так: «Вычесть из 40 число 16 - что значит найти такое число, при сложении которого с числом 16 получается 40; таким числом будет 24, так как 24 + 16 = 40. Значит. 40 - 16 = 24».

Правила вычитания числа из суммы и суммы из числа в начальном курсе математики являются теоретической основой различных приемов вычислений. Например, значение выражения (40 + 16) - 10 можно найти, не только вычислив сумму в скобках, а затем вычесть из нее число 10, но и таким образом;

а) (40 + 16) - 10 = (40 - 10) + 16 = 30 + 16 = 46:

б) (40 + 16) - 10 = 40 +(16- 10) = 40 + 6 = 46.

Упражнения

1. Верно ли, что каждое натуральное число получается из непосредственно следующего вычитанием единицы?

2. В чем особенность логической структуры теоремы 19? Можно ли ее сформулировать, используя слова «необходимо и достаточно»?

3. Докажите, что:

а) если b > с, то (а + b) - с = а + (b - с );

б) если а > b + с , то а - (b + с) = (а - b) - с.

4.Можно ли, не выполняя вычислений, сказать, значения каких выражений будут равны:

а) (50 + 16)- 14; г) 50 + (16 -14),

б) (50 - 14) + 16; д) 50 - (16 - 14);
в) (50 - 14) - 16, е) (50 + 14) - 16.

а) 50 - (16 + 14); г) (50 - 14) + 16;

б) (50 - 16) + 14; д) (50 - 14) - 16;

в) (50 - 16) - 14; е) 50 - 16- 14.

5. Какие свойства вычитания являются теоретической основой следующих приемов вычислении, изучаемых в начальном курсе математики:

12 - 2-3 12 -5 = 7

б) 16-7 = 16-6 - П;

в) 48 - 30 = (40 + 8} - 30 = 40 + 8 =18;

г) 48 - 3 = (40 + 8) - 3 = 40 + 5 = 45.

6. Опишите возможные способы вычисления значения выражения вида. а - b - с и проиллюстрируйте их на конкретных примерах.

7. Докажите, что при b < а и любых натуральных c верно равенство (a – b) с = ас - bс.

Указание. Доказательство основывается на аксиоме 4.

8. Определите значение выражения, не выполняя письменных вычислений. Ответы обоснуйте.

а) 7865 × 6 – 7865 ×5: б) 957 × 11 - 957; в) 12 × 36 – 7 × 36.

Деление

При аксиоматическом построении теории натуральных чисел деление обычно определяется как операция, обратная умножению.

Определение. Делением натуральных чисел а и b называется операция, удовлетворяющая условию: а: b = с тогда и только тогда, когда b × с = а.

Число а:b называется частным чисел а и b, число а делимым, число b - делителем.

Как известно, деление на множестве натуральных чисел существует не всегда, и такого удобного признака существования частного, какой существует для разности, нет. Есть только необходимое условие существования частного.

Теорема 23. Для того чтобы существовало частное двух натуральных чисел а и b , необходимо, чтобы b < а.

Доказательство. Пусть частное натуральных чисел а и b существует, т.е. есть такое натуральное число c, что bс = а. Так как для любого натурального числа 1 справедливо неравенство 1 £ с, то, умножив обе его части на натуральное число b , получим b £ bс. Но bс = а, следовательно, b £ а.

Теорема 24. Если частное натуральных чисел а и b существует, то оно единственно.

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы о единственности разности натуральных чисел.

Исходя из определения частного натуральных чисел и условия его существования, можно обосновать известные правила деления суммы (разности, произведения) на число.

Теорема 25. Если числа а и b делятся на число с, то и их сумма а + b делится на с, причем частное, получаемое при делении суммы а + b на число с, равно сумме частных, получаемых при делении а на с и b на с , т.е. (а + b) :с = а:с + b :с.

Доказательство. Так как число а делится на с, то существует такое натуральное число х = а; с, что а = сх. Аналогично существует такое натуральное число у = b :с, что

b = су. Но тогда а + b = сх + су =- с(х + у). Это значит, что а + b делится на c, причем частное, получаемое при делении суммы а + b на число c, равно х + у, т.е. ах + b: с.

Доказанную теорему можно сформулировать в виде правила деления суммы на число: для того чтобы разделить сумму на число, достаточно разделить на это число каждое слагаемое и полученные результаты сложить.

Теорема 26. Если натуральные числа а и b делятся на число с и а > b, то разность а - b делится на c, причем частное, получаемое при делении разности на число c, равно разности частных, получаемых при делении а на с и b на c, т.е. (а - b):с = а: с - b:с.

Доказательство этой теоремы проводится аналогично доказательству предыдущей теоремы.

Эту теорему можно сформулировать в виде правила деления разности на число: для того, чтобы разделить разность на число, достаточно разделить на это число уменьшаемое и вычитаемое и из первого частного вычесть второе.

Теорема 27. Если натуральное число а делится на натуральное число с, то для любого натурального числа b произведение аb делится на с. При этом частное, получаемое при делении произведения аb на число с, равно произведению частного, получаемого при делении а на с, ичисла b: (а × b):с - (а:с) × b.

Д о к азательство. Так как а делится на с, то существует такое натуральное число х, что а:с = х, откуда а = сх. Умножив обе части равенства на b, получим аb = (сх)b. Поскольку умножение ассоциативно, то (сх) b = с(х b). Отсюда (а b):с = х b= (а:с) b. Теоремуможно сформулировать в виде правила деления произведения на число: для того чтобы разделить произведение на число, достаточно разделить на это число один из множителей и полученный результат умножить на второй множитель.

В начальном обучении математике определение деления как операции обратной умножению, в общем виде, как правило, не дается, но им постоянно пользуются, начиная с первых уроков ознакомления с делением. Учащиеся должны хорошо понимать, что деление связано с умножением, и использовать эту взаимосвязь при вычислениях. Выполняя деление, например, 48 на 16, учащиеся рассуждают так: «Разделить 48 на 16 - это значит найти такое число, при умножении которого на 16 получится 48; таким числом будет 3, так как 16×3 = 48. Следовательно, 48: 16 = 3.

Упражнения

1. Докажите, что:

а) если частное натуральных чисел а и b существует, то оно единственно;

б) если числа а и b делятся на с и а > b, то (а - b): с = а: с - b: с.
2. Можно ли утверждать, что все данные равенства верные:
а) 48:(2×4) = 48:2:4; б) 56:(2×7) = 56:7:2;

в) 850:170 =850:10:17.

Какое правило является обобщением данных случаев? Сформулируйте его и докажите.

3. Какие свойства деления являются теоретической основой для
выполнения следующих заданий, предлагаемых школьникам начальных классов:

можно ли, не выполняя деления, сказать, значения каких выражений будут одинаковыми:

а) (40+ 8):2; в) 48:3; д) (20+ 28):2;

б) (30 + 16):3; г)(21+27):3; е) 48:2;

Верны ли равенства:

а) 48:6:2 = 48:(6:2); б) 96:4:2 = 96:(4-2);

в) (40 - 28): 4 = 10-7?

4. Опишите возможные способы вычисления значения выражения
вида:

а) (а + b):с; б) а : b : с; в) (а × b) : с .

Предложенные способы проиллюстрируйте на конкретных примерах.