Как сделать div заполнить оставшееся горизонтальное пространство? Цикл статей "Беседа с психологом". Чем заполнить личное пространство? Уголок для чтения
→ Заполняем пустое пространство. Почеркушки и путанки.
Прошлый раз я рассказывала про раскраски для взрослых, тема этого блога – заполнение пустого пространства листа и такие методики (техники) рисования как Зентангл, Дудлинг и их разновидности.Первая техника Зентангл. Во-первых, определимся что же такое Зентангл. Зентангл – это зарегистрированное (или запатентованное как бренд) понятие, обозначающее методику медитативного рисования. Методика создана более десяти лет назад американцами художником-шрифтовиком Марией Томас и Риком Робертсом, которое долгое время был монахом. В словаре нет как такового определения этого слова. Но оно состоит из двух частей – «зен» и «тангл». «Зен» - это «дзен» (как «дзен-буддизм») – полная форма просветления. А «тангл» - переводиться как «сплетение», «спутанный клубок», «беспорядок». Получается, что Зентангл – это абстрактный рисунок, создающийся на основе повторяющихся узоров. При этом человек при рисовании достигает максимального расслабления схожего с медитацией. Еще Зентангл называют дзен-графикой или медитативным рисованием. Собственно Зентангл – это прежде всего погружение в сам процесс рисования. Концентрация на каждой линии. Рисунок – одновременно и спланированный и стихийный. Спланированный потому, что используются особые узоры-танглы (танглами называют как отдельные узоры, так и готовые рисунки), рисуемые пошагово по известной схеме, состоящие из ограниченного количества элементов. Спонтанный – потому, что комбинация танглов и конкретное исполнение заранее не планируется. Вообщем главное в Зентангле это то, что процесс важнее результата.
Наша вторая техника – Дудлинг (или Зендудлинг). Или Дудл. В отличие от Зентангла это бессознательный рисунок, незапланированный и стихийно развивающийся. Дудлинг возникает тогда, когда мы концентрируемся на чем-то другом, обычно связанным со слушаньем. Рисунок состоит из простых элементов - кружочков, закорючек, ромбиков, точечек, палочек и прочих. Однако из этих простых элементов могут складываться сложнейшие композиции, поражающие воображение. Они могут мыть каляками-маляками, а могут быть и весьма сложными и художественно наполненными.
У Дудлинга есть два положительных момента: - Дудлинг как бессознательный рисунок, позволяющий «отключить мозг», что открывает дорогу чистому творчеству, не скованному правилами. - Дудлинг парадоксальным образом не отвлекает, а помогает удерживать внимание рисующего. Есть даже целое направление, основанное на Дудлинге – это арт-буки, но о них я расскажу в следующий раз.
Третья техника – это Зенарт (или ZIA) – Зенартом считается любое отступление от правил рисования – рисование цветными фломастерами, или раскрашивание рисунка цветом или использование бумаги большого формата или плотности, альбома например. Также Зенартом считается, если нарисовать танглами что-то конкретное: розу, ежика, сову. Или же рисовать вообще не на бумаге оформление стен или же тканевой сумки.
25 ответов
Кажется, что вы делаете то, что собираетесь делать.
#left { float:left; width:180px; background-color:#ff0000; } #right { width: 100%; background-color:#00FF00; } left right
Проблема, которую я нашел с ответом Буше, заключается в том, что если правый столбец длиннее левого, он просто обернется вокруг слева и возобновит заполнение всего пространства. Это не то поведение, которое я искал. После поиска множества "решений" я нашел это замечательное руководство по созданию трех столбцов.
Автор предлагает три разных способа: одну фиксированную ширину, одну с тремя переменными столбцами и одну с фиксированными внешними колонками и среднюю ширину. Гораздо более элегантный и эффективный, чем другие примеры, которые я нашел. Значительно улучшилось понимание макета CSS.
В основном, в простом примере выше, поместите первый столбец влево и придайте ему фиксированную ширину. Затем дайте столбцу справа левый край, который немного шире, чем первый столбец. Это. Готово. Код Ala Boushley:
#left { float: left; width: 180px; } #right { margin-left: 180px; } /* just to highlight divs for example*/ #left { background-color: pink; } #right { background-color: lightgreen;} left right
С примером Буше в левой колонке справа находится другой столбец. Как только левая колонка заканчивается, правая часть снова заполняет все пространство. Здесь правый столбец просто выравнивается дальше на страницу, а левый столбец занимает большой запас жира. Никаких взаимодействий потока не требуется.
Решение исходит из свойства отображения.
В принципе, вам нужно сделать, чтобы оба div были похожи на ячейки таблицы. Поэтому вместо использования float:left вам нужно будет использовать display:table-cell для обоих div, а для динамической ширины div вам нужно также установить width:auto; . Оба div должны быть помещены в контейнер шириной 100% с свойством display:table .
Container {display:table;width:100%} #search { width: 160px; height: 25px; display:table-cell; background-color: #FFF; } #navigation { width: auto; display:table-cell; /*background-color: url("../images/transparent.png") ;*/ background-color: #A53030; } *html #navigation {float:left;}
ВАЖНО: для Internet Explorer вам нужно указать свойство float в динамической ширине div, иначе пробел не будет заполнен.
Я надеюсь, что это решит вашу проблему. Если вы хотите, вы можете прочитать полную статью, которую я написал об этом на в моем блоге .
Left { float: left; width: 100px; } .right { overflow: auto; }
В этом случае overflow: auto запускает контекстное поведение и делает правильный элемент расширяющимся только до доступной оставшейся ширины, и он, естественно, расширяется до полной ширины, если.left исчезает. Очень полезный и чистый трюк для многих макетов UI, но, возможно, трудно понять, почему это работает. Сначала
Если вам не нужна совместимость со старыми версиями определенных браузеров (например, IE 10 8 или менее), вы можете использовать функцию calc() CSS:
#left { float:left; width:180px; background-color:#ff0000; } #right { float: left; width: calc(100% - 180px); background-color:#00FF00; }
@Boushley ответ был самым близким, однако есть одна проблема, не затронутая, которая была указана. Правый div занимает всю ширину браузера; содержание принимает ожидаемую ширину. Чтобы увидеть эту проблему лучше:
* { margin: 0; padding: 0; } body { height: 100%; } #left { opacity: 0; height: inherit; float: left; width: 180px; background: green; } #right { height: inherit; background: orange; } table { width: 100%; background: red; }
| Hello, World! |
Содержимое находится в правильном месте (в Firefox), однако ширина неверна. Когда дочерние элементы начинают наследовать ширину (например, таблицу width: 100%), они получают ширину, равную ширине браузера, заставляя их переполняться справа от страницы и создавать горизонтальную полосу прокрутки (в Firefox) или не плавать и сжиматься (в хромированном состоянии).
Вы можете легко устранить это , добавив overflow: hidden в правый столбец. Это дает вам правильную ширину как для содержимого, так и для div. Кроме того, таблица получит правильную ширину и заполнит оставшуюся ширину.
Я попробовал некоторые из других решений выше, они не работали полностью с некоторыми краевыми случаями и были слишком запутаны, чтобы гарантировать их фиксацию. Это работает, и это просто.
Если есть какие-либо проблемы или проблемы, не стесняйтесь их повышать.
Ниже приведено небольшое исправление для принятого решения, которое предотвращает попадание правой колонки в левый столбец. Замененная width: 100%; с overflow: hidden; сложное решение, если кто-то этого не знал.
This is My Page Title #left { float: left; width: 180px; background-color: #ff0000; } #right { overflow: hidden; background-color: #00FF00; } left right
Также проверьте пример для трех расположения столбцов: http://jsfiddle.net/MHeqG/3148/
Ответ Boushley, кажется, лучший способ пойти, чтобы организовать это с помощью поплавков. Однако это не без проблем. Вложенные плавающие внутри расширенного элемента не будут доступны вам; он сломает страницу.
Метод, показанный в основном "подделывает" его, когда дело доходит до расширяющегося элемента - он фактически не плавает, он просто играет с плавающими элементами с фиксированной шириной, используя свои поля.
Тогда проблема в том, что: расширяющийся элемент не плавает. Если вы пытаетесь и имеете какие-либо вложенные плавающие внутри расширяющегося элемента, эти "вложенные" плавающие элементы вообще не вложены; когда вы пытаетесь вставить clear: both; под ваши "вложенные" плавающие элементы, вы также очистите поплавки верхнего уровня.
Затем, чтобы использовать решение Boushley, я хотел бы добавить, что вы должны поместить div следующим образом: .fakeFloat { высота: 100%; ширина: 100%; плыть налево; } и поместите это прямо в расширенный div; все расширенное содержимое div должно идти тогда внутри этого элемента fakeFloat.
По этой причине я рекомендую использовать таблицы в этом конкретном случае. Плавающие элементы действительно не предназначены для того, чтобы делать расширение, которое вам бы хотелось, тогда как решение с использованием таблицы тривиально. Аргумент обычно делается таким, что плавание более подходит для макетов, а не таблиц.. но вы все равно не используете плавающие здесь, вы его притворяетесь, и этот вид побеждает цель стилистического аргумента для этого конкретного случая, в мое скромное мнение.
Если вы пытаетесь заполнить оставшееся пространство в flexbox между двумя элементами, добавьте следующий класс в пустой div между 2, которые вы хотите разделить:
Fill { // This fills the remaining space, by using flexbox. flex: 1 1 auto; }
Решение для фиксированных центральных div и столбцов с жидкостью.
Center{ background:#ddd; width: 500px; float:left; } .left{ background:#999; width: calc(50% - 250px); float:left; } .right{ background:#999; width: calc(50% - 250px); float:right; }
Если вам нужен фиксированный левый столбец, просто измените формулу соответствующим образом.
Я попробовал вышеуказанные решения для жидкости, оставленной, и фиксированное право, но не сработало (я знаю, что вопрос обратный, но я думаю, что это актуально). Вот что работало:
Wrapper {margin-right:150px;} .wrapper .left {float:left; width:100%; margin-right:-150px;} .right {float:right; width:150px;}
Используйте display:flex
fixed width remaining
Вы можете использовать Grid CSS свойства, это самый понятный, понятный и интуитивно понятный способ структурирования ваших блоков.
#container{ display: grid; grid-template-columns: 100px auto; color:white; } #fixed{ background: red; grid-column: 1; } #remaining{ background: green; grid-column: 2; } Fixed Remaining
Интересно, что никто не использовал position: absolute с position: relative
Таким образом, другим решением будет:
Menu1 Menu2 Menu3
Header { position: relative; } #left { width: 160px; height: 25px; } #right { position: absolute; top: 0px; left: 160px; right: 0px; height: 25px; }
Container { width:100%; display:table; vertical-align:middle; } .left { width:100%; display:table-cell; text-align:center; } .right { width:40px; height:40px; display:table-cell; float:right; } Left Right = $blockWrap) || $thePageRefreshed == true){ $(".right_content_container").width($normalRightResize); $(".right_content_container").css("padding-left","0px"); /* Begin test lines these can be deleted */ $rightrightPosition = $(".right_content_container").css("right"); $rightleftPosition = $(".right_content_container").css("left"); $rightwidthPosition = $(".right_content_container").css("width"); $(".top_title").html("window width: "+$(window).width()+" "+"width: "+$rightwidthPosition+" "+"right: "+$rightrightPosition); /* End test lines these can be deleted */ } else{ if($(".right_content_container").width() > 300){ $(".right_content_container").width(300); } /* Begin test lines these can be deleted */ $rightrightPosition = $(".right_content_container").css("right"); $rightleftPosition = $(".right_content_container").css("left"); $rightwidthPosition = $(".right_content_container").css("width"); $(".top_title").html("window width: "+$(window).width()+" "+"width: "+$rightwidthPosition+" "+"right: "+$rightrightPosition); /* End test lines these can be deleted */ } if($thePageRefreshed == true){ $thePageRefreshed = false; } } /* NOTE: The html and body settings are needed for full functionality and they are ignored by jsfiddle so create this exapmle on your web site */ html { min-width: 310px; background: #333; min-height:100vh; } body{ background: #333; background-color: #333; color: white; min-height:100vh; } .top_title{ background-color: blue; text-align: center; } .bottom_content{ border: 0px; height: 100%; } .left_right_container * { position: relative; margin: 0px; padding: 0px; background: #333 !important; background-color: #333 !important; display:inline-block; text-shadow: none; text-transform: none; letter-spacing: normal; font-size: 14px; font-weight: 400; font-family: -apple-system,BlinkMacSystemFont,"Segoe UI",Roboto,Oxygen-Sans,Ubuntu,Cantarell,"Helvetica Neue",sans-serif; border-radius: 0; box-sizing: content-box; transition: none; } .left_navigator_item{ display:inline-block; margin-right: 5px; margin-bottom: 0px !important; width: 100%; min-height: 20px !important; text-align:center !important; margin: 0px; padding-top: 3px; padding-bottom: 3px; vertical-align: top; } .left_navigator_items { float: left; width: 150px; } .right_content_container{ float: right; overflow: visible!important; width:95%; /* width don"t matter jqoery overwrites on refresh */ display:none; right:0px; } .span_text{ background: #eee !important; background-color: #eee !important; color: black !important; padding: 5px; margin: 0px; } Test Title Dashboard Calendar Calendar Validator Bulletin Board Slide Editor Bulletin Board Slide Show (Live) TV Guide Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit. Nullam ullamcorper maximus tellus a commodo. Fusce posuere at nisi in venenatis. Sed posuere dui sapien, sit amet facilisis purus maximus sit amet. Proin luctus lectus nec rutrum accumsan. Pellentesque habitant morbi tristique senectus et netus et malesuada fames ac turpis egestas. Ut fermentum lectus consectetur sapien tempus molestie. Donec bibendum pulvinar purus, ac aliquet est commodo sit amet. Duis vel euismod mauris, eu congue ex. In vel arcu vel sem lobortis posuere. Cras in nisi nec urna blandit porta at et nunc. Morbi laoreet consectetur odio ultricies ullamcorper. Suspendisse potenti. Nulla facilisi. Quisque cursus lobortis molestie. Aliquam ut scelerisque leo. Integer sed sodales lectus, eget varius odio. Nullam nec dapibus lorem. Aenean a mattis velit, ut porta nunc. Phasellus aliquam volutpat molestie. Aliquam tristique purus neque, vitae interdum ante aliquam ut. Pellentesque quis finibus velit. Fusce ac pulvinar est, in placerat sem. Suspendisse nec nunc id nunc vestibulum hendrerit. Class aptent taciti sociosqu ad litora torquent per conubia nostra, per inceptos himenaeos. Mauris id lectus dapibus, tempor nunc non, bibendum nisl. Proin euismod, erat nec aliquet mollis, erat metus convallis nulla, eu tincidunt eros erat a lectus. Vivamus sed mattis neque. In vitae pellentesque mauris. Ut aliquet auctor vulputate. Duis eleifend tincidunt gravida. Sed tincidunt blandit tempor. Duis pharetra, elit id aliquam placerat, nunc arcu interdum neque, ac luctus odio felis vitae magna. Curabitur commodo finibus suscipit. Maecenas ut risus eget nisl vehicula feugiat. Sed sed bibendum justo. Curabitur in laoreet dolor. Suspendisse eget ligula ac neque ullamcorper blandit. Phasellus sit amet ultricies tellus. In fringilla, augue sed fringilla accumsan, orci eros laoreet urna, vel aliquam ex nulla in eros. Quisque aliquet nisl et scelerisque vehicula. Curabitur facilisis, nisi non maximus facilisis, augue erat gravida nunc, in tempus massa diam id dolor. Suspendisse dapibus leo vel pretium ultrices. Sed finibus dolor est, sit amet pharetra quam dapibus fermentum. Ut nec risus pharetra, convallis nisl nec, tempor nisl. Vivamus sit amet quam quis dolor dapibus maximus. Suspendisse accumsan sagittis ligula, ut ultricies nisi feugiat pretium. Cras aliquam velit eu venenatis accumsan. Integer imperdiet, eros sit amet dignissim volutpat, tortor enim varius turpis, vel viverra ante mauris at felis. Mauris sed accumsan sapien. Interdum et malesuada fames ac ante ipsum primis in faucibus. Ut vel magna commodo, facilisis turpis eu, semper mi. Nulla massa risus, bibendum a magna molestie, gravida maximus nunc.
Вот моя скрипка, которая может работать для вас, как и для меня.
Заполнение пространства многогранниками
Какими многогранниками можно заполнить пространство так, чтобы любые два многогранника либо имели общую грань, либо общее ребро, либо общую вершину, либо не имели общих точек? Такое заполнение пространства многогранниками называется пространственным паркетом.
Ясно, что если имеется паркет на плоскости, состоящий из многоугольников, то призмы, основаниями которых служат эти многоугольники, будут образовывать пространственный паркет (рис. 1). В частности, пространственный паркет можно составить из произвольного параллелепипеда, правильной треугольной призмы, правильной шестиугольной призмы и др.
Выясним, из каких правильных многогранников можно составить пространственный паркет. Заметим, что при заполнении пространства многогранниками сумма двугранных углов многогранников, прилегающих к одному ребру, должна составлять 360°. Поэтому из одноименных правильных многогранников пространственный паркет можно составить только из тех, у которых двугранные углы имеют вид .
Конечно, пространственный паркет можно составить из равных кубов. Двугранные углы куба равны 90°.
Найдем двугранные углы правильного тетраэдра. Пусть ABCD - правильный тетраэдр с ребром 1 (рис. 2). Из вершин A и D опустим перпендикуляры AE и DE на ребро BC . Угол AED будет линейным углом j искомого двугранного угла. В треугольнике ADE имеем:
.
. Откуда φ ≈ 70°30".
Рис. 2
Таким образом, если при одном ребре сходится менее шести тетраэдров, то сумма их двугранных углов меньше 360°, если же взять шесть или более тетраэдров, то сумма их двугранных углов будет больше 360°. Следовательно, из правильных тетраэдров нельзя составить пространственный паркет.
Найдем двугранные углы октаэдра. Рассмотрим правильный октаэдр с ребром 1 (рис. 3).
Рис. 3
Из вершин E и F опустим перпендикуляры EG и FG на ребро BC . Угол EGF EGF имеем:
Используя теорему косинусов, находим . Откуда φ ≈ 109°30". Таким образом, если при одном ребре сходится менее четырех октаэдров, то сумма их двугранных углов меньше 360°, если же взять четыре или более октаэдров, то сумма их двугранных углов будет больше 360°. Следовательно, из правильных октаэдров нельзя составить пространственный паркет.
Найдем двугранные углы икосаэдра. Рассмотрим правильный икосаэдр с ребром 1 (рис. 4).
Рис. 4
Статья опубликована при поддержке русской онлайн-энциклопедии "Энциклопедия.ру". Сетевой проект "Энциклопедия.ру" - аналог сайта "Википедия ". В свободной энциклопедии более 10000 статей на русском языке. Узнать подробнее о проекте, посмотреть статьи и портал сообщества Вы сможете на сайте, который располагается по адресу: http://ensiklopedia.ru/wiki/Заглавная_страница.
Из вершин A и C опустим перпендикуляры AG и CG на ребро BF . Угол AGC будет линейным углом j искомого двугранного угла. В треугольнике AGC имеем:
Используя теорему косинусов, находим . Откуда φ ≈ 138°11". Таким образом, если при одном ребре сходится менее трех икосаэдров, то сумма их двугранных углов меньше 360°, если же взять три или более икосаэдров, то сумма их двугранных углов будет больше 360°. Следовательно, из правильных икосаэдров нельзя составить пространственный паркет.
Найдем двугранные углы додекаэдра. Рассмотрим правильный додекаэдр с ребром 1 (рис. 5).
Из вершин A
и C
опустим перпендикуляры AG
и CG
на ребро BF
. Угол AGC
будет линейным углом
φ
искомого двугранного угла.
В правильном пятиугольнике ABCDE
стороны равны
. AC
- диагональ
этого пятиугольника, и следовательно, .
Кроме того, 
.
Используя теорему косинусов, находим . Откуда φ ≈ 116°34". Таким образом, если при одном ребре сходится менее трех додекаэдров, то сумма их двугранных углов меньше 360°, если же взять три или более додекаэдров, то сумма их двугранных углов будет больше 360°. Следовательно, из правильных додекаэдров также нельзя составить пространственный паркет.
Рис. 5
В результате получаем, что единственным правильным многогранником, которым можно заполнить пространство, то есть составить пространственный паркет, является куб.
Используя куб, можно привести примеры других многогранников, из которых можно составить пространственный паркет.
Так, например, куб можно разбить на правильные четырехугольные пирамиды, основаниями которых являются грани куба, а вершиной - центр куба (рис. 6). Одной из таких пирамид является пирамида OABCD . Если в пространственном паркете из кубов каждый куб разбить на правильные четырехугольные пирамиды, то получим пространственный паркет из правильных четырехугольных пирамид.
Рис. 6
Правильную четырехугольную пирамиду OABCD
(рис. 7)
можно разбить на две равные треугольные пирамиды OABC
и OACD
.
Разбиение кубов на такие пирамиды дает пространственный паркет, состоящий из
треугольных пирамид - тетраэдров. Для единичного куба эти тетраэдры имеют ребра,
равные 
. Тетраэдр OABC
можно разбить на два равных тетраэдра OABP
и OBCP
. Ребра этих тетраэдров равны 
Тетраэдр OABP
, в свою
очередь, можно разбить на два равных тетраэдра OARP
и OBRP
. Ребра
этих тетраэдров равны 
Наконец, из двух тетраэдров, равных тетраэдру OABP
,
можно составить один тетраэдр OABQ
, из которого также можно составить
пространственный паркет. Ребра этого тетраэдра равны 
Заметим, что гранями
последнего тетраэдра являются равные равнобедренные треугольники со сторонами
Рис. 7
Оказывается, что никаких других тетраэдров, из которых можно составить пространственный паркет, кроме четырех тетраэдров, перечисленных выше, не существует (см. ).
Приведем другие примеры многогранников, из которых можно составить пространственные паркеты.
На рисунке 8 изображен ромбододекаэдр - многогранник, поверхность которого состоит из двенадцати равных ромбов. Форму ромбододекаэдра имеет кристалл граната. Поэтому его называют также гранатоэдр.
Рис. 8
Ромбододекаэдр можно получить из двух кубов следующим образом. Разрежем один из кубов на шесть равных правильных четырехугольных пирамид с вершинами в центре куба, основаниями которых являются грани куба. Поставим каждую такую пирамиду основанием на грань неразрезанного куба. Получим ромбододекаэдр (рис. 9).
Рис. 9
Приступим теперь к составлению паркета. Рассмотрим пространственный паркет из кубов, раскрашенных в черный и белый цвета в шахматном порядке так, что по граням соприкасаются только черные и белые кубы. Разобьем белые кубы на правильные четырехугольные пирамиды и присоединим их к прилегающим черным кубам. В результате получим искомый пространственный паркет из ромбододекаэдров.
Используя ромбододекаэдр, приведем пример еще одного многогранника, из которого можно составить пространственный паркет.
Рис. 10
Разрежем ромбододекаэдр плоскостью, проходящей через центр вписанного в него куба, параллельно одной из граней куба. В сечении будет квадрат ABCD со стороной, равной диагонали грани куба (рис. 10,а ). Вставим между двумя половинками ромбододекаэдра правильную четырехугольную призму. Получим многогранник, поверхность которого состоит из двенадцати граней: восьми ромбов и четырех шестиугольников (рис. 10,б ).
Покажем, что из таких двенадцатигранников можно составить пространственный паркет. Для этого разрежем паркет из ромбододекаэдров плоскостями, проходящими через центры черных кубов и параллельными одной выбранной грани черного куба. В пересечении каждой такой плоскости с ромбододекаэдрами образуется плоский паркет из квадратов. В каждый разрез вставим правильные четырехугольные призмы, основаниями которых являются квадраты из плоского паркета. В результате получим искомый пространственный паркет.
Приведем пример еще одного многогранника, из которого можно составить пространственный паркет. Он называется усеченным октаэдром и получается из октаэдра отсечением от его вершин правильных четырехугольных пирамид, боковые ребра которых равны одной трети ребра данного октаэдра (рис. 11,а ). Гранями усеченного октаэдра являются шесть квадратов и восемь правильных шестиугольников (рис. 11,б ).
Рис. 11
Разрежем усеченный октаэдр на восемь равных частей плоскостями, проходящими через пары противоположных ребер октаэдра (рис. 12).
Рис. 12
Каждая такая часть представляет собой половинку куба, полученную разрезанием куба по плоскости, дающей в сечении куба правильный шестиугольник.
Если взять два равных усеченных октаэдра, один из них разрезать на восемь равных частей и присоединить эти части к шестиугольным граням неразрезанного усеченного октаэдра, то получим куб.
Рассмотрим пространственный паркет, состоящий из кубов с вписанными в них усеченными октаэдрами. Эти усеченные октаэдры не заполняют все пространство. Между ними остаются пустоты. Однако эти пустоты расположены вокруг вершин кубов и представляют собой объединение восьмых частей усеченных октаэдров и, следовательно, сами являются усеченными октаэдрами. Таким образом, все пространство оказывается разбитым на усеченные октаэдры, и любые два таких усеченных октаэдра получаются друг из друга параллельным переносом.
Заметим, что в пяти из рассмотренных выше пространственных паркетах многогранники расположены параллельно друг другу. Это паркеты из шестиугольных призм, кубов (параллелепипедов), ромбододекаэдров, двенадцатигранников, полученных из ромбододекаэдра добавлением правильных четырехугольных призм и усеченных октаэдров.
Такие выпуклые многогранники, из которых можно составить пространственный паркет так, чтобы любые два многогранника из этого паркета получались друг из друга параллельным переносом, называются параллелоэдрами. Отечественным математиком и кристаллографом Е.С. Федоровым (1853–1919) было доказано, что существует только пять типов параллелоэдров: куб (параллелепипед), правильная шестиугольная призма, усеченный октаэдр, ромбододекаэдр и двенадцатигранник, полученный из ромбододекаэдра (см. ).
Приведем примеры пространственных паркетов, составленных из нескольких различных многогранников.
На рисунке 13 изображен многогранник, называемый усеченным кубом. Его гранями являются правильные треугольники и восьмиугольники. Он получается из куба отсечением от его вершин правильных треугольных пирамид. Непосредственные вычисления показывают, что для единичного куба боковые ребра этих пирамид должны быть равны . Если в пространственном паркете из кубов заменить кубы на усеченные кубы, то между ними останутся пустоты в виде октаэдров. Таким образом, усеченные кубы и октаэдры образуют пространственный паркет.
Рис. 13
На рисунке 14 изображен многогранник, называемый кубооктаэдром. Его гранями являются шесть квадратов (как у куба) и восемь правильных треугольников (как у октаэдра). Он получается из куба отсечением от его вершин правильных треугольных пирамид, боковые ребра которых равны половине ребра куба. Если в пространственном паркете из кубов заменить кубы на кубооктаэдры, то между ними останутся пустоты в виде октаэдров. Таким образом, кубооктаэдры и октаэдры образуют пространственный паркет.
Рис. 14
Рассмотрим пространственный паркет, состоящий из кубов с вписанными в них правильными тетраэдрами (рис. 15).
Рис. 15
Эти тетраэдры не заполняют все пространство. Между ними остаются пустоты. Однако эти пустоты расположены вокруг вершин кубов и представляют собой объединение восьмых частей октаэдров и, следовательно, сами являются октаэдрами. Таким образом, мы имеем пространственный паркет, составленный из правильных тетраэдров и октаэдров.
На рисунке 16 изображен многогранник, называемый ромбокубооктаэдром. Его гранями являются квадраты и правильные треугольники. Он получается из единичного куба следующим образом. Перенесем грани куба в направлении от его центра на расстояние, равное . Вершины этих граней будут служить вершинами искомого ромбокубооктаэдра. Будем заполнять пространство ромбокубооктаэдрами, совмещая их грани, полученные из граней куба. На остальные квадратные грани ромбокубооктаэдров поставим кубы, а на треугольные грани поставим кубооктаэдры. В результате получим пространственный паркет, составленный из ромбокубооктаэдров, кубов и кубооктаэдров.
На рисунке 17 изображен многогранник, называемый усеченным кубооктаэдром. Его гранями являются правильные восьмиугольники, шестиугольники и квадраты. Он получается из усеченного куба следующим образом. Перенесем восьмиугольные грани усеченного куба, ребра которого равны 1, в направлении от его центра на расстояние, равное . Вершины этих граней будут служить вершинами искомого усеченного кубооктаэдра.
Будем заполнять пространство усеченными кубооктаэдрами, совмещая их грани, полученные из восьмиугольных граней усеченного куба, так, чтобы шестиугольные грани одного усеченного кубооктаэдра примыкали к квадратным граням другого кубооктаэдра. Пустоты между этими усеченными кубооктаэдрами будут иметь форму усеченных октаэдров. Таким образом, эти усеченные кубооктаэдры и усеченные октаэдры будут образовывать пространственный паркет.
В заключение предлагаем упражнения для самостоятельного решения.
Упражнения
1. Можно ли составить пространственный паркет из произвольной:
а) треугольной призмы;
б) четырехугольной призмы;
в) шестиугольной призмы?
2. Можно ли составить паркет из какой-нибудь пятиугольной призмы?
3. Найдите двугранные углы, образованные гранями:
а) усеченного октаэдра;
б) ромбододекаэдра.
4. Вершинами какого многогранника являются центры граней ромбододекаэдра?
5. Покажите, что из равных правильных четырехугольных и шестиугольных пирамид можно составить пространственный паркет.
6. Найдите двугранные углы тетраэдров, из которых можно составить пространственный паркет.
7. Можно ли составить пространственный паркет из пространственного креста - многогранника, полученного объединением семи кубов (рис. 18).
Рис. 18
8. На рисунке 19 изображен многогранник, называемый звездчатым октаэдром, получающийся продолжением граней октаэдра. Он был открыт Леонардо да Винчи, затем, спустя почти сто лет, переоткрыт И. Кеплером и назван им Stella octangula - звезда восьмиугольная. Какой правильный многогранник нужно добавить к нему, чтобы из них можно было составить пространственный паркет?
Рис. 19
9. Двойственным к пространственному паркету, состоящему из многогранников, имеющих центр симметрии, называется пространственный паркет из многогранников, вершинами которых являются центры многогранников данного паркета. Какие пространственные паркеты двойственны паркету: а) из кубов; б) правильных треугольных призм; в) правильных шестиугольных призм?
10. Найдите пространственные паркеты, двойственные паркетам:
а) из усеченных октаэдров;
б) ромбододекаэдров;
в) двенадцатигранников, полученных из ромбододекаэдров?
Литература
1. Бончковский Р.Н.
Заполнение пространства
тетраэдрами//Математическое просвещение, 1935, № 4, с. 26-40. (Имеется на сайте
www.mccme.ru)
2. Делоне Б., Житомирский О.
Задачник по
геометрии. - М.–Л.: Гос. изд. техн.-теорет. литературы, 1950. (Имеется на сайте
www.mccme.ru)
3. Смирнова И.М., Смирнов В.А.
Геометрия. Учебник для 10–11
классов общеобразовательных учреждений. - М.: Мнемозина, 2006.
Со времён древних греков известно пять платоновых тел - правильных многогранников, отличающихся высшей степенью симметрии. Это тетраэдр, куб, октаэдр, икосаэдр и додекаэдр, они изображены на рис. 1.
Легко заполнить одинаковыми кубами всё пространство без пустот и наложений так, чтобы любые два граничащих друг с другом куба пересекались либо по вершине, либо по ребру, либо по грани (рис. 2).
а) Докажите , что другие платоновы тела такого заполнения пространства не допускают.
б) Придумайте , как заполнить пространство, если можно использовать различные платоновы тела.
Подсказка 1Предположим, имеется некоторое заполнение пространства платоновыми телами (не обязательно одинаковыми). Рассмотрим ребро одного из них. Тогда сумма двугранных углов многогранников, примыкающих к этому ребру, составляет 360°.
Подсказка 2Покажите, что двугранные углы тетраэдра, октаэдра, икосаэдра и додекаэдра равны , , 
и соответственно.
Покажите, что пространство можно заполнить тетраэдрами и октаэдрами.
РешениеРассмотрим сначала заполнение пространства кубами, чтобы понять, каким образом оно получается. Пусть AB - ребро одного из кубов (рис. 3.). Тогда оно является ребром ещё трёх кубов. Чтобы пространство было заполнено без пустот, сумма двугранных углов, ребром которых является AB , должна составлять 2π . Так как двугранный угол куба равен π /2, то сумма четырёх таких углов - в точности то, что нам нужно.
Таким образом, для того чтобы каким-либо платоновым телом можно было замостить пространство указанным в условии задачи способом, необходимо, чтобы двугранный угол этого платонова тела имел вид 2π /n , где n - некоторое натуральное число, большее двух.
Теперь найдём двугранные углы всех остальных платоновых тел. Убедившись в том, что ни один из них не может быть представлен в виде 2π /n , мы докажем пункт а). Начнём с тетраэдра.
Будем считать, что все стороны тетраэдра ABCD
равны 1. Пусть M
- середина стороны BC
, DH
- высота (рис. 4). Тогда точка H является центром грани ABC
, а значит, лежит на отрезке AM
и делит его в отношении 2: 1, считая от точки A
. Учитывая, что AM
= DM
, отсюда следует, что cos
. То есть двугранный угол тетраэдра равен .
Далее рассмотрим октаэдр ABCDEF
(рис. 5). Как и в случае тетраэдра, мы будем считать, что длина каждой стороны октаэдра равна 1. Пусть M - середина стороны BF
, AH
- перпендикуляр, опущенный на плоскость BCF
из точки A
, H
1 и H
2 - центры граней BCF
и ADE
соответственно. Тогда AM
= CM
, AHH
1 H
2 - прямоугольник, а 
. Кроме того, 
. Следовательно, 
и . Таким образом, двугранный угол октаэдра равен .
Прежде чем перейти к икосаэдру и додекаэдру, нам стоит поближе познакомиться с правильным пятиугольником. Пусть в правильном пятиугольнике PQRST диагонали PS и QT пересекаются в точке K (рис. 6). Так как каждый угол правильного пятиугольника равен 3π /5, то углы при основаниях равнобедренных треугольников PST и QTP равны π /5. Значит, углы при основаниях равнобедренных треугольников KPQ и KTS равны 2π /5; в частности, это означает, что любая диагональ правильного пятиугольника делит его на равнобедренный треугольник и трапецию.
Проведём в треугольнике KPQ биссектрису PM . Тогда легко видеть, что KPM = π /5 и PKM = PMK = 2π /5 . Отсюда мы заключаем, что равнобедренные треугольники KTS и KPM подобны. Этот факт позволяет нам выразить все элементы пятиугольника PQRST через длину его стороны.
Действительно, будем считать для простоты, что PQ = 1. Тогда ST = KQ = 1. Обозначим KT через x . Тогда PK = PM = MQ = x , KM = 1 – x . Следовательно, . Преобразовывая это равенство, мы получаем соотношение x 2 + x – 1 = 0, откуда находим .
Теперь легко найти разные элементы. Так, для нас будет иметь значение, что длина диагонали правильного пятиугольника со стороной 1 есть 
. Другой важный момент - значения тригонометрических функций в точках π
/5 и 2π
/5. Например,
Кроме того, 
- это сторона правильного пятиугольника, который высекается, если мы проведём в пятиугольнике PQRST
все диагонали.
Перейдём, наконец, к икосаэдру. Для того чтобы найти его двугранный угол, нам достаточно будет рассмотреть «шапочку» икосаэдра - правильную пятиугольную пирамиду ABCDEF
. Пусть M
- середина стороны AC
(рис. 7). Тогда считая, что все стороны пирамиды равны 1, легко получаем 
, 
. Согласно теореме косинусов, BD
2 = BM
2 + DM
2 – 2 · BM
· DM
· cosBMD
. Значит,
Таким образом, двугранный угол икосаэдра равен .
Перейдём к додекаэдру. Как со всеми остальными платоновыми телами, будем считать, что длина каждого его ребра равна 1. Введём обозначения так, как указано на рис. 8. Пусть M - середина стороны BC . Тогда искомый угол EMG можно найти, применив теорему косинусов для равнобедренного треугольника EMG . Осталось найти стороны этого треугольника.
Боковые стороны треугольника EMG отыскать несложно. Действительно,
Для того чтобы найти EG , рассмотрим сечение додекаэдра плоскостью DEG (рис. 9). Эта плоскость высекает из додекаэдра шестиугольник DEKLGH , у которого DE = KL = GH = 1 и HD = EK = GL = (как диагональ правильного пятиугольника со стороной 1). Из соображений симметрии ясно, что шестиугольник DEKLGH вписан в окружность, причём DEG = EGH = KHG = π /3 . Отсюда вытекает, что прямые DE и HK параллельны, а треугольник HGI , где I - точка пересечения EG и KH , равносторонний. Значит, GI = GH = 1, а EI = DH = . Таким образом, получаем EG = GI + EI = .
Вернёмся к двугранному углу додекаэдра. Как следует из теоремы косинусов для треугольника EMG , EG 2 = EM 2 + GM 2 – 2 · EM · GM · cosEMG . Значит,
Таким образом, двугранный угол додекаэдра равен .
Теперь мы можем заняться анализом полученных результатов. Как мы уже говорили в самом начале, для того, чтобы копиями некоторого платонова тела можно было заполнить всё пространство без остатка, необходимо, чтобы двугранный угол этого платонова тела имел вид 2π /n . Значения косинусов углов такого вида, соответствующие значениям n = 2, 3, 4, 5, 6, таковы:
Поскольку на промежутке функция cos x монотонно убывает, то для сравнения углов достаточно сравнить между собой значения их косинусов. Сделаем это.
Двугранный угол тетраэдра равен . Для косинусов выполнены следующие неравенства: < 1/3 < 1/2. Значит, 2π /5 > > 2π /6.
Двугранный угол октаэдра равен . Для косинусов выполнены следующие неравенства: –1/2 < –1/3 < 0. Значит, 2π /3 > > 2π /4.
Двугранный угол икосаэдра равен . Для косинусов выполнены следующие неравенства: –1 < –√5/3 < –1/2. Значит, 2π
/2 > > 2π
/3.
Двугранный угол додекаэдра равен . Для косинусов выполнены следующие неравенства: –1/2 < –1/√5 < 0. Значит, 2π /3 > > 2π /4.
Таким образом, двугранные углы ни одного платонова тела, кроме куба, не являются углами вида 2π /n . Пункт а) доказан.
Перейдём к пункту б) задачи. Рассмотрим равные октаэдры ABCDEF и PQRCBS , у которых ребро BC общее. Тогда если рёбра BC , DE и QR лежат в одной плоскости, то расстояние между вершинами A и P равно расстоянию между центрами октаэдров (рис. 10). Однако последнее равно длине ребра октаэдра. Значит, в тетраэдре ABCP все стороны равны, и он - правильный.
Это соображение позволяет требуемым образом заполнить пространство тетраэдрами и октаэдрами. Сначала мы складываем из них четырёхгранную трубу (рис. 11). Эта труба в сечении даёт ромб. Однако мы умеем копиями любого четырёхугольника (а тем более - ромба) покрывать плоскость без пробелов и наложений (см. задачу «Замощения»). Поэтому такими трубами всё пространство тоже легко заполняется.
«Круги в круге») и шаров в пространстве. Несмотря на то, что почти все формулировки звучат весьма естественно, подобные задачи довольно сложны, и в большинстве случаев они только ожидают своего решения.
С точки зрения других наук рассматриваемая задача интересна прежде всего, потому, что ответ на неё позволяет предсказать, каково строение кристаллов того или иного вещества, как различные атомы и молекулы соединяются для того, чтобы эти кристаллы образовать. Оказывается, кристаллы в большинстве своём устроены регулярно, что позволяет описать их единообразно при помощи дискретных подгрупп движений пространства. Связь кристаллов и подгрупп движений объясняется следующим образом: для каждой дискретной подгруппы движений пространства можно выделить наибольший связный кусок пространства, никакие две точки которого не могут быть друг в друга переведены каким-либо движением из этой подгруппы. Вообще говоря, таких кусков может быть много; любой из них называется фундаментальной областью подгруппы движений. В том случае, когда фундаментальная область ограничена, дискретная подгруппа движений называется кристаллографической . Это название и объясняет природу связи: молекулы и атомы регулярно устроенных кристаллов зачастую можно рассматривать как фундаментальную область некоторых кристаллографических групп движений.
Количество плоских кристаллографических групп равно 17. В трёхмерном пространстве имеется уже 219 кристаллографических групп. В пространстве размерности 4 количество групп ещё больше: 4783. Каждая такая группа порождает определённое разбиение плоскости или пространства на одинаковые кусочки. Например, разбиение плоскости на равные квадратики, стороны которых равны 1 (клетчатая бумага), порождается кристаллографической группой, состоящей из параллельных переносов на всевозможные векторы вида (m , n ), где m и n — целые числа, а также поворотов на углы π /4, π /2 и 3π /4 относительно центров и вершин квадратиков. Подобной кристаллографической группой порождается заполнение пространства кубами. Регулярному заполнению пространства тетраэдрами и октаэдрами также соответствует кристаллографическая группа — она состоит из всех таких движений, которые переводят заполнение само в себя. Однако ни октаэдр, ни тетраэдр не будут её фундаментальной областью.
Столкнувшиеся с проблемами душевной близости супруги должны взять на себя ответственность за их решение. Им следует снова начать путь к сердцу друг друга. Например, жена, стесняющаяся собственной чрезмерной душевной ранимости, должна признаться самой себе и мужу: да, в ней живет страх и тревога по поводу того, что муж узнает о ее недостатках и захочет порвать с ней отношения. Это смягчит сердце мужа и даст жене возможность убедиться, что все это - лишь ее «выдумки». Я знаю таких супругов, которые очень много времени начали отдавать церкви или находить себе массу других занятий. Жена решила, что после стольких лет совместной жизни она стала неинтересна мужу и что постоянное участие в какой-либо деятельности отвлечет мужа и ему не так скучно будет вдвоем с ней.
Она рискнула и призналась ему:
Я берусь за все эти дела потому, что мне стало казаться, будто я больше не интересна тебе.
Он был сильно удивлен и опечален.
Ничего подобного. Я безумно скучаю, когда тебя нет рядом.
Когда муж отдаляется от жены потому, что не может выносить некоторых ее качеств, ему следует откровенно признаться: он боится стать причастным к неудачам жены и поэтому порицает ее поведение. Жена должна сообщить мужу о том, как сильно переживает его отчуждение. Они вместе обязаны подумать, как им быть.
Вот еще один пример. Жена не выносит гнева мужа, потому что он напоминает ей о собственной скрытой ярости, и ей необходимо со всей ответственностью разобраться со своими отрицательными эмоциями. А муж должен дать ей понять, что ему одиноко и не хватает ее любви, когда она замыкается в себе, если он злится.
Нередко отчуждение супругов происходит из-за несформированных границ. Отчуждение - единственная установленная ими граница. Они не могут примириться с недостатками друг друга. Если им надо душевно сблизиться и одновременно установить какие-то ограничения, получается, что сближения не происходит или существующая проблема не решается. Супругам надо научиться быть и любящими, и искренними.
Они могут договориться: как только кто-то из них почувствует, что в отношениях не стало любви и искренности, он сразу же сообщит об этом другому. Если вы чувствуете, что боитесь сказать супругу правду, так и скажите: «Я боюсь сказать тебе правду». Прежде всего вместе разберитесь с этим страхом, а уже потом сообщайте правду. Если вы заметите, что супруг разговаривает с вами с отсутствующим видом, дайте ему понять, что он эмоционально далеко от вас. Вдвоем обсудите, что с ним происходит в данный момент.
Незнание собственных границДэйл и Маргарет - мои друзья. Дэйл - энергичный оптимист. Он любит принимать участие во всех церковных и светских мероприятиях; создает и тренирует спортивные команды по самым разным видам спорта, в которых играют его дети; обожает свою работу, может заниматься ею бесконечно. Маргарет - его полная противоположность. Получив два высших образования, она, тем не менее, решила, что ее главная роль - тенью следовать за Дэйлом и разгребать оставленные им завалы. Когда он взваливает на себя слишком много, она помогает ему выбрать, в каком мероприятии принять участие, а какое лучше пропустить. Когда он залезает в долги, она придумывает, как их выплатить. И хотя она считает это неотъемлемой частью своего замужества, ее очень беспокоит, что муж придает ее роли в семейной жизни слишком маленькое значение. «Дэйл - человек, интересующийся всем на свете, необыкновенно влюбленный в жизнь, - сказала она мне. - Для него жизнь - бесконечное приключение. Но он никогда не рассматривает нас двоих как супружескую пару».
Нередко супружеские пары испытывают постороннее вмешательство в свои отношения потому, что один или оба супруга просто не знают, как лучше распорядиться своим временем, энергией, способностями. Им кажется, что они не дают угаснуть вспыхнувшему когда-то между ними любовному огню, поддерживают его на определенном уровне. Они искренне желают принимать участие в жизни супруга, говорить с ним обо всем, поддерживать романтические отношения, но только не сейчас. И очень часто подходящий момент не наступает никогда. Что-то постороннее вмешивается в брак и начинает господствовать над ним.
Такие проблемы обычно возникают у «необузданных» супругов, неспособных предвидеть последствия своих поступков. В течение жизни кто-то всегда оказывается рядом с таким человеком и сглаживает все неприятные последствия его поведения. Сначала это делают родители, потом друзья, коллеги и наконец супруг. Беспечное отношение к семейной жизни - следствие беспечного отношения вообще ко всему. Супруги в таком браке считают, что под ними как бы постоянно натянута сетка безопасности, как у артиста цирка. Роль этой сетки играют окружающие люди, которые своим поведением внушают им, что: 1) как бы безответственно они ни относились к своим обязанностям, ничего плохого все равно не случится; 2) а если даже и случится, то никто не обратит на это внимания; 3) а если кому-то все же станет от этого не по себе, обязательно найдется кто-нибудь, кто выручит их из беды, и все будет улажено. Такие люди живут по принципу: все всегда закончится хорошо. Они не способны посмотреть правде в глаза.
Когда Маргарет сказала Дэйлу о своих переживаниях, он немало удивился. Ему казалось, что жена, так же как и он, постоянно находится в приподнятом настроении благодаря его «всеядности». И когда он услышал от нее: «Я люблю тебя, но больше не буду поощрять все, что встает между нами, - твое участие во всех без разбору видах деятельности», то страшно обиделся. Но Маргарет прекратила играть роль спасителя мужа, и в конце концов он явственно ощутил все последствия своей вечной разбросанности. Столкнувшись с недовольством людей, которых он подвел, везде и всюду опаздывая, он стал смотреть на вещи более реалистично. В то же время он понял, как много делала для него Маргарет. Дэйл начал ценить жену. Он стал жалеть о том упущенном времени, когда позволил множеству второстепенных вещей встать между ними.
Дэйл научился правильно воспринимать окружающую действительность, представляющую собой сочетание «кнута и пряника»: кнута реального положения дел и пряника любви к Маргарет.
